通用版2020版高考数学大二轮复习 大题专项练习 分类汇编全集 文 下载本文

综上:S∈[8,10].

2.(2019山东烟台一模)已知F为抛物线C:y=2px(p>0)的焦点,过F的动直线交抛物线C于A,B两点.当直线与x轴垂直时,|AB|=4. (1)求抛物线C的方程;

(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.

2

解(1)因为F??2

,0,在抛物线方程y=2px中,令x=,可得y=±p.

2

2

??于是当直线与x轴垂直时,|AB|=2p=4,解得p=2. 所以抛物线的方程为y=4x.

(2)因为抛物线y=4x的准线方程为x=-1,所以M(-1,-2). 设直线AB的方程为y=x-1,

22

联立{??=4??,消去x,得y-4y-4=0.

??=??-1

2

2

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4. 若点P(x0,y0)满足条件,则2kPM=kPA+kPB,

??0+2??0+1

??0-??1??0-??1

??0-??2

, ??0-??2

即2·=+

因为点P,A,B均在抛物线上,所以x0=??204

,x1=??214

,x2=??224

.

代入化简可得

2(??0+2)

??20+4

=??2+(??0

2??0+??1+??2

1+??2)??0+??1??2

, 将y1+y2=4,y1y2=-4代入,解得y0=±2.

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将y0=±2代入抛物线方程,可得x0=1. 于是点P(1,±2)为满足题意的点.

3.已知椭圆

??2C:2??21

+2=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1、F2,A为椭圆C上一点,AF1与y????3

轴相交于B,|AB|=|F42B|,|OB|=3

(O为坐标原点).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,过A1,A2分别作x轴的垂线l1,l2,椭圆C的一条切线

l:y=kx+m(k≠0)分别与l1,l2交于点M,N,求证:∠MF1N=∠MF2N.

解(1)如图,连接AF2,由题意得|AB|=|F2B|=|F1B|,

所以BO为△F1AF2的中位线,

又BO⊥F8

1F2,所以

AFF??2

2⊥F12,且|AF2|=2|BO|=??=3,

又e=??1

222??=3,a=b+c,所以a2=9,b2

=8,

故所求椭圆C的方程为??29

+

??28

=1.

(2)由(1)可得,F1(-1,0),F2(1,0),l1的方程为x=-3,l2的方程为x=3.

由{

??=-3,??=????+??,得{??=-3,

??=-3??+??,

由{

??=3,

??=3,??=????+??得{??=3??+??,所以M(-3,-3k+m),N(3,3k+m),

54

所以??????????? ??1??=(-2,-3k+m),??????????? ??1??=(4,3k+m), 所以??????????? ??1??·??????????? ??1??=-8+m-9k.

??2

2

2

联立得{

+=1,得(9k2+8)x2+18kmx+9m2-72=0.

8

??=????+??,

9

??2

因为直线l与椭圆C相切,

所以Δ=(18km)-4(9k+8)(9m-72)=0, 化简得m=9k+8.

所以??????????? ??1??·??????????? ??1??=-8+m-9k=0, 所以??????????? ??1??⊥??????????? ??1??,故∠MF1N=2. 同理可得??????????? ??2??⊥??????????? ??2??,∠MF2N=2. 故∠MF1N=∠MF2N.

4.(2019四川棠湖中学高三适应性考试)已知抛物线C=x=4y,M为直线l:y=-1上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B. (1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程; (2)证明:以AB为直径的圆恒过点M.

(1)解当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,

22

由{??=4??,消y得x-4kx+4=0.* ??=????-1,

2

2

2

2

2

2

2

2

π

π

令Δ=(4k)-4×4=0,解得k=±1. 代入方程*,解得A(2,1),B(-2,1).

设圆心P的坐标为(0,a),由|PM|=|PB|,得a+1=2,解得a=1.

55

2

故过M,A,B三点的圆的方程为x+(y-1)=4.

22

(2)证明设M(x0,-1),由已知得y=??24

,y'=x,设切点分别为Ax1,

2

1

??214

,Bx2,

??224

,所以kMA=??12

,kMB=??22

,

切线MA的方程为y-??214

=

??12

(x-x1),

即y=1x1

2

1x-4

??21,

切线MB的方程为y-??22??24

=

2

(x-x2),

即y=1x1

2x-??22

4

2.

又因为切线MA过点M(x0,-1),

所以得-1=11

2x0x1-4??21.

又因为切线MB也过点M(x0,-1),

所以得-1=12x1

0x2-4??22.

所以x11

2

1,x2是方程-1=2x0x-4x的两实根, 由韦达定理得x1+x2=2x0,x1x2=-4.

因为????????????? =x??21-x0,

14

+1,

????????????? =x??22-x0,2

4+1,

所以????????????? ·????????????? =(x??21-x0)(x2-x0)+14

+1

??224

+1

=x1x2-x0(x1+x2)+??2??21??2

12

0+

2

16

+4[(??1+??2)-2x1x2]+1.

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