所以存在x??0∈

6

,1+??6

,使f(x0)=0,

且当0x0时,f(x)>0. 故函数f(x)在(0,+∞)上有1个零点,即x0. (2)当a>1时,lna>0. 因为当x∈(0,lna)时,ex-a<0; 当x∈(lna,+∞)时,ex-a>0. 由(1)知,当x∈(0,x0)时,f(x)<0; 当x∈(x0,+∞)时,f(x)>0.

下面证:当a∈(1,e)时,lna

6a+1=alna-a-6+1,

记g(x)=xlnx-x-??26

+1,x∈(1,e),

g'(x)=lnx-??3,x∈(1,e),

令h(x)=g'(x),则h'(x)=3-??3??>0, 所以g'(x)在(1,e)上单调递增,

由g'(1)=-1e

3<0,g'(e)=1-3>0,

所以存在唯一零点t0∈(1,e),使得g'(t0)=0, 且x∈(1,t0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

x∈(t0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.

49

所以当x∈(1,e)时,g(x)

由g(1)=-1

-e26<0,g(e)=66

<0,

得当x∈(1,e)时,g(x)<0. 故f(lna)<0,0

F'(x)=(ex-a)f(x)>0,F(x)单调递增;

当lna0,f(x)<0,

F'(x)=(ex-a)f(x)<0,F(x)单调递减.

所以存在a∈(1,e)?(1,4),使得lna为F(x)的极大值点.

8.已知函数f(x)=ln x-1

2a(x-1)(a∈R).

(1)若a=-2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若不等式f(x)<0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.解(1)若a=-2,则f(x)=lnx+x-1,f'(x)=1

??+1,

∴切点为(1,0),切线的斜率k=f'(1)=2.

∴若a=-2,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.

(2)∵f(x)=lnx-1

2a(x-1),

∴f'(x)=12-???????

??2

=

2??,

①当a≤0时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,

50

∴当x>1时,f(x)>f(1)=0, ∴a≤0不合题意.

??(??-??)2??2

②当a≥2,即0

22-????2??=-<0在(1,+∞)上恒成立,

∴当x>1时,f(x)

2

2

2

③当01时,由f'(x)>0,结合x>1可得1??, ∴f(x)在1,??上单调递增,在

2

22

??,+∞上单调递减,

∴f??>f(1)=0,

∴0

综上所述,实数a的取值范围是[2,+∞).

大题专项练(六) 解析几何

A组 基础通关

1.(2019安徽蚌埠高三第三次教学质检)已知点E(-2,0),F(2,0),P(x,y)是平面内一动点,P可以与点E,F重合.当P不与E,F重合时,直线PE与PF的斜率之积为-4. (1)求动点P的轨迹方程;

51

1

(2)一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切,求该矩形面积的取值范围. 解(1)当P与点E,F不重合时,

由

kk1

????1??22

PE·PF=-4,得??+2·??-2=-4,即4+y=1(y≠0),

当P与点E,F重合时,P(-2,0)或P(2,0).

综上,动点P的轨迹方程为

??224

+y=1.

(2)记矩形面积为S,当矩形一边与坐标轴平行时,易知S=8. 当矩形各边均不与坐标轴平行时,

根据对称性,设其中一边所在直线方程为y=kx+m,则对边方程为y=kx-m,

另一边所在的直线为y=-11

??x+n,则对边方程为y=-??x-n,

联立:{

??2+4??2=4,??=????+??,

得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 则Δ=0,即4k2+1=m2

.

矩形的一边长为d=|2??|1√??2+1, 同理:4

22

|2??|??2+1=n,矩形的另一边长为d=, √1??2+1S=d??|??||

(4??2+1)(??2+4)

1·d2=|2√??2+1·|2√

1=

|4????????2+1

=4·√

(??2+1)

2 ??2+1=4·√

4??4+17??2+4(??2+1)

2=4·√4+

9??2(??2+1)

2

=4·√4+

9

??2+

1+2∈(8,10],

??2 52