例11对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少?

例12设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,(1) 求取到的是次品的概率;(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.

例13 根据以上的临床记录，某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)?0.95,P(A|C)?0.95 现在对自然人群进行普查, 设备试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)?0.005, 试求 P(C|A).

思考题

1.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?

第五节 事件的独立性

一、 两个事件的独立性

定义 若两事件A,B满足P(AB)?P(A)P(B) (1)则称A,B独立, 或称A,B相互独立. 注: 当P(A)?0,P(B)?0时, A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立. 但?与S既相互独立又互不相容(自证).

定理1 设A,B是两事件, 且P(A)?0,若A,B相互独立, 则P(A|B)?P(A). 反之亦然. 定理2 设事件A,B相互独立,则下列各对事件也相互独立: A与B,A与B,A与B.

二、有限个事件的独立性

P(AB)?P(A)P(B),P(AC)?P(A)P(C),定义：A,B,C为三个事件, 若满足等式则称事件A,B,C相互独立.

P(BC)?P(B)P(C),P(ABC)?P(A)P(B)P(C),对n个事件的独立性, 可类似写出其定义:

定义 设A1,A2,?,An是n个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称A1,A2,?,An两两独立.

三、 相互独立性的性质

性质1 若事件A1,A2,?,An(n?2)相互独立, 则其中任意k(1?k?n)个事件也相互独立;

由独立性定义可直接推出.

性质2 若n个事件A1,A2,?,An(n?2)相互独立, 则将A1,A2,?,An中任意m(1?m?n)个事件换成它们的对立事件, 所得的n个事件仍相互独立; 对n?2时，定理2已作证明, 一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.

?性质3设A1,A2,?,An是n(n?2)个随机事件，则A1,A2,?,An相互独立 A1,A2,?,An两

??两独立。 即相互独立性是比两两独立性更强的性质,

四、伯努利概型

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设随机试验只有两种可能的结果: 事件A发生(记为A) 或 事件A不发生(记为A), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设P(A)?p,P(A)?1?p,(0?p?1),将伯努利试验

独立地重复进行n次, 称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验, 或简称为伯努利概型. 注: n重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A在每次试验中发生的概率均为p,且不受其他各次试验中A是否发生的影响.

定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0?p?1),则在n重贝努里试

kkp(1?p)n?k,(k?0,1,?,n). 验中,事件A恰好发生k次的概率为P{X?k}?Cn推论 设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0?p?1), 则在n重贝努里试验中, 事件A在第k次试验中的才首次发生的概率为p(1?p)k?1,(k?0,1,?,n).

注意到“事件A第k次试验才首次发生”等价于在前k次试验组成的k重伯努利试验中“事

件A在前k?1次试验中均不发生而第k次试验中事件A发生”,再由伯努利定理即推得.

例题选讲：

两个事件的独立性

例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记A?{抽到K}, B?{抽到的牌是黑色的}, 问事件A、B是否独立?

注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

相互独立性的性质

例2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出一球, 设A?{从甲袋中取出的是偶数号球}, B?{从乙袋中取出的是奇数号球}, C?{从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}, 试证A,B,C两两独立但不相互独立.

例3 加工某一零件共需经过四道工序, 设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的零件的次品率.

例4如图是一个串并联电路系统.A,B,C,D,E,F,G,H都是电路中的元件. 它们下方的数字是它们各自正常工作的概率. 求电路系统的可靠性.

例5甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p,p≥1/2. 问对甲而言,采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立.

例6 某种小数移栽后的成活率为90%, 一居民小区移栽了20棵,求能成活18的概率.

伯努利概型

例7一条自动生产线上的产品, 次品率为4%, 求解以下两个问题:

(1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率;

(2) 一次取1件, 无放回地抽取,求当取到第二件次品时, 之前已取到8件正品的概率. 例8一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25, 为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用, 且规定若10个病人中至少有四个治好则认为这种药有效, 反之则认为无效. 求

（1）虽然新药有效，且把痊愈率提高到0.35，但通过实验却被否定的概率. （2）新药完全无效，但通过实验却被认为有效的概率.

例9 一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.

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（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率. （2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次黑球的概率. 例10 一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下第j站的概率，并判断“第i站停车”与“第j站停车”两个事件是否独立.

例11 某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6,现若干门炮同时各射一发, (1)问:欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮? (2)现有3门炮,欲以99%的把握击中一架来犯的敌机,问:每门炮的命中率应提高到多少?

思考题：1. 某工人一天出废品的概率为0.2, 求在4天中:

(1)都不出废品的概率; (2)至少有一天出废品的概率; (3)仅有一天出废品的概率; (4)最多有一天出废品的概率; (5)第一天出废品, 其余各天不出废品的概率.

第二章 随机变量及其分布

在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布. 【教学目的与要求】

通过学习，使学生了解随机变量的概念；理解分布函数的概念和性质；掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法；理解分布律与概率密度的概念和性质。熟练掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布；会利用概率分布计算有关事件的概率。会求简单的随机变量函数的概率分布； 【教学重点】

离散型随机变量的分布律与连续型随机变量的概率密度的概念和性质；二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布；随机变量的函数的分布。 【教学难点】

连续型随机变量函数的分布； 【计划课时】7 【教学内容】

第一节 随机变量的概念

一、随机变量概念的引入

为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1.在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 2.在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.

二、随机变量的定义

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定义：设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数X?X(e)为随机变量.

随机变量与高等数学中函数的比较:

(1)都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值; (2) 试验结果的出现有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.

三、引入随机变量的意义

随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来. 由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.

随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.

例题选讲：

例1 在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为S?{正面, 反面},记赢钱数为随机变量X, 则X作为样本空间S的实值函?1,e?正面,数定义为X(e)??

?1,e?反面.?例2在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H、反面T出现情况的试验中, 其样本空间

S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};记每次试验出现正面H的总次数为随机变量X, 则X作为样本空间S上的函数定义为

eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT

X32221110易见, 使X取值为2({X?2})的样本点构成的子集为A?{HHT,HTH,THH},故 P{X?2}?P(A)?3/8,类似地，有P{X?1}?P{HTT,THT,TTH,TTT}?4/8.

例3 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是[0,??)中任何一个实数, 若用X表示灯泡的寿命（小时），则X是定义在样本空间S?{t|t?0}上的函数，即X?X(t)?t，是随机变量.

思考题：. 一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.

第二节 离散型随机变量及其分布函数

一、离散型随机变量及其概率分布

定义 设离散型随机变量X的所有可能取值为xi(i?1,2,?), 称P{X?xi}?pi,i?1,2,? 为X的概率分布或分布律, 也称概率函数.

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