常用表格形式来表示X的概率分布:
Xpix1p1x2?xn?p2?pn?
二、常用离散分布
退化分布 两点分布 n个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布
泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布. 三、二项分布的泊松近似
定理1 (泊松定理) 在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验的次数n有关), 如果n??时, npn??(??0为常数), 则对任意给定的k, 有
limb(k,n,pn)??kk!n??e??.
例题选讲：
离散型随机变量及其概率分布
例1某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 例2设随机变量X的概率分布为:P{X?K}?a?kk!,k?0,1,2,?,??0.确定常数a.
二项分布
例3 已知100个产品中有5个次品, 现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.
例4某人进行射击, 每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率. 例5有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一由4人维护, 每人负责20台; 其二由3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 几何分布
例6某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是p, 求所需射击发数X的概率分布. 泊松分布
例7某一城市每天发生火灾的次数X服从参数??0.8的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. 二项分布的泊松近似
例8某公司生产的一种产品300件. 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?
例9一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数??5的泊松分布来描述, 为了以95%以上的把握保证不脱销, 问商店在月底至少应进某种商品多少件?
例10自1875年至1955年中的某63年间, 上海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次, 试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型. 思考题
1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2, 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.
2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇
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到红灯前已通过的路口的个数, 求X的概率分布.
第三节 随机变量的分布函数
要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念. 一. 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量, 称F(x)?P(X?x)(???x???)为X的分布函数.有时记作X~F(x)或FX(x).
分布函数的性质：1. 单调非减. 若x1?x2, 则F(x1)?F(x2)；
2. F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1; 3. 右连续性. 即limF(x)?F(x0).
x???x????x?x0二、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X的概率分布为
Xpixi?xx1p1x2?xn?p2?pn?xi?x
则X的分布函数为F(x)?P(X?x)??P(X?xi)??pi.
例题选讲：
随机变量的分布函数
例1等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点, 记X为落点的位置(数轴上的坐标) , 求随机变量X的分布函数.
?0,x??2,?(1)F(x)??1/2,?2?x?0,?1,x?0;??0,x?0,?例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数(2)F(x)??sinx,0?x??,
?1,x??;??0,x?0,?(3)F(x)??x?1/2,0?x?1/2,?1,x?1/2.?离散型随机变量的分布函数
X012, 求F(x). 例3设
pi1/31/61/2例4 X具有离散均匀分布, 即P(X?xi)?1/n,i?1,2,?,n,求X的分布函数. x?1,?0,?9/19,1?x?2,?例5设随机变量X的分布函数为F(x)??求X的概率分布.
15/19,2?x?3,??x?3.?1,思考题
X?1241．设随机变量X的概率分布为,求X的的分布函数。
pi1/41/21/4
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第四节 连续型随机变量及其概率密度
一、 连续型随机变量及其概率密度
定义 如果对随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x),使得对于任意实数x有 F(x)?P{X?x}??x??f(t)dt.则称X为连续型随机变量, 称f(x)为X的概率密度函数,简称
为概率密度或密度函数.
关于概率密度的说明：1. 对一个连续型随机变量X,若已知其密度函数f(x),则根据定义,可求得其分布函数F(x), 同时, 还可求得X的取值落在任意区间(a,b]上的概率:
P{a?X?b}?F(b)?F(a)??f(x)dx；2. 连续型随机变量X取任一指定值a(a?R)的概率
ab为0；3. 若f(x)在点x处连续, 则F?(x)?f(x) (1)
二、常用连续型分布 均匀分布
?1,a?x?b?定义 若连续型随机变量X的概率密度为f(x)??b?a则称X在区间(a,b)上服
?0,其它?从均匀分布, 记为X~U(a,b).
指数分布
??e??x,x?0,??0则称X服从参数为?的指定义 若随机变量X的概率密度为f(x)??0,其它.?数分布.简记为X~e(?).
正态分布
定义 若随机变量X的概率密度为f(x)??1e2??(x??)22?2,???x??.
其中?和?(??0)都是常数, 则称X服从参数为?和?2的正态分布. 记为X~N(?,?2). 注: 正态分布是概率中最重要的连续型分布, 19世纪前叶由高斯加以推广, 又称高斯分布. 一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布. 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因. 例如, 产品的质量指标, 元件的尺寸, 某地区成年男子的身高、体重, 测量误差, 射击目标的水平或垂直偏差, 信号噪声、农作物的产量等等, 都服从或近似服从正态分布. 标准正态分布
正态分布当??0,??1时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用?(x)和?(x)表示:?(x)?1?2e, ?(x)?2?x212??x??edt标准正态分布的重要性在于, 任何一
?t22个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 定理 设X~N(?,?2),则Y?X???~N(0,1).
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标准正态分布表的使用：（1）表中给出了x?0时?(x)的数值, 当x?0时, 利用正态分布的对称性, 易见有?(?x)?1??(x);（2） 若X~N(0,1),则P{a?X?b}??(b)??(a); （3）若X~N(?,?2),则Y?X???~N(0,1),
?X??x????x???故X的分布函数F(x)?P{X?x}?P???; ???????????b????a???b????a???P{a?X?b}?P??Y??????. ??????????????例题选讲：
连续型随机变量及其概率密度
?21?x2,?1?x?1?例1 设随机变量X的密度函数为f(x)???求其分布函数F(x).
?0,其它?0?x?3,?kx,?x?例2设随机变量X具有概率密度f(x)??2?,3?x?4,
2??其它.?0,(1)确定常数k;(2)求X的分布函数F(x);(3)求P{1?X?7/2}.
x?0?0,?例3设随机变量X的分布函数为F(x)??x2,0?x?1
?1,1?x?求 (1) 概率P{0.3?X?0.7}; (2) X的密度函数.
常用连续型分布 均匀分布
例4某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率. 指数分布
例5某元件的寿命X服从指数分布, 已知其平均寿命为1000小时，求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率. 正态分布
例6设X~N(1,4), 求 F(5),P{0?X?1.6},P{|X?1|?2}.
例7 设某项竞赛成绩X~N（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少？
例8将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且 X~N(d,0.52)(1) 若 d?90℃，求X小于89℃ 的概率； (2) 若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少为多少？
例9某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人, 临时工20人; 报考的人数是1657人, 考试满分是400分. 考试后得知, 考试总平均成绩, 即??166分, 360分以上的高分考生31人. 某考生B得256分, 问他能否被录取? 能否被聘为正式工?
例10在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2. 假设电源电压X服从正态分布N(220，25)，试求： (1) 该电子元件损坏的概率?; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率?.
思考题
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