∴直线CE的解析式为y＝－
9
x＋3. 13
9??y＝－x＋3，13由???y＝－x2＋2x＋3，
35
可得x1＝0(舍去)，x2＝，
13
35
则点P的横坐标为.
13
(3)如答图2，过点D作DI⊥x轴，垂足为I.
第2题答图2
∵∠BDA＋2∠BAD＝90°， ∴∠DBI＋∠BAD＝90°. ∵∠BDI＋∠DBI＝90°， ∴∠BAD＝∠BDI. ∵∠BID＝∠DIA， ∴△IBD∽△IDA， ∴＝，
BIIDDIIA∴
xD－xB－yD＝， －yDxD－xA2
2
∴yD＝xD－(xA＋xB)xD＋xAxB， 令y＝0，得－x＋bx＋c＝0， 则xA＋xB＝b，xAxB＝－c，
∴yD＝xD－(xA＋xB)xD＋xAxB＝xD－bxD－c. ∵yD＝－xD＋bxD＋c， ∴yD＝－yD， 解得yD＝0或－1. ∵点D在x轴下方，
∴yD＝－1，即点D的纵坐标为－1.
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2
2
2
类型3 探究特殊三角形的存在性
1．(2018·河池)如图1，抛物线y＝－x＋2x－1的顶点A在x轴上，交y轴于B，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于C，D，顶点为E(1,4)．
(1)求点B的坐标和平移后抛物线的解析式；
(2)点M在原抛物线上，平移后的对应点为N，若OM＝ON，求点M的坐标；
(3)如图2，直线CB与平移后的抛物线交于F，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以C，F，
2
P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由，
第1题图
解：(1)在抛物线y＝－x＋2x－1中，令x＝0，得
2
y＝－1，∴B(0, －1)．
∵平移后的抛物线顶点为E(1,4)，
∴平移后抛物线的解析式为y＝－x＋2x－1＋4＝－x＋2x＋3. (2)设M(a，－a＋2a－1)，则N(a，－a＋2a＋3)． ∵OM＝ON，∴点M，N关于x轴对称， ∴－a＋2a－1＝－(－a＋2a＋3)． 整理，得a－2a－1＝0， 解得a＝1±2，
∴点M的坐标为(1＋2，－2)或(1－2，－2)． (3)存在，点P的坐标为(1 ,2)或(1，－8)或(1， －6)或(1,1).
[解法提示]令y＝－x＋2x＋3＝0，
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解得x1＝－1，x2＝3，∴C(－1,0)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)． 将点B(0，－1)，C(－1,0)分别代入，
??b＝－1，得?
?－k＋b＝0，?
??k＝－1，
解得?
?b＝－1，?
∴直线BC的解析式为y＝－x－1，
??y＝－x＋2x＋3，
联立?
?y＝－x－1，?
2
??x＝－1，
解得?
?y＝0，?
2
??x＝4，
或?
?y＝－5，?
∴F(4，－5)．
∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝－2a2∴设P(1，m)，
∴PF＝(1－4)＋(m＋5)＝m＋10m＋34，
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b1
＝1，
PC2＝(1＋1)2＋m2＝m2＋4，CF2＝(－1－4)2＋52＝50，要使△PCF是直角三角形，分为三种情况：
①当∠PCF＝90°时，有PC＋CF＝PF，
即m＋4＋50＝m＋10m＋34，解得m＝2，∴P(1,2)； ②当∠PFC＝90°时，有PF＋CF＝PC， 即m＋10m＋34＋50＝m＋4， 解得m＝－8，∴P(1，－8)；
③当∠CPF＝90°时，有PC＋PF＝CF，即m＋4 ＋m＋10m＋34＝50，解得m＝－6或m＝1， ∴P(1，－6)或P(1,1)．
综上所述，存在点P，使得以C，F，P为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为(1,2)或(1，－8)或(1，－6)或(1,1)．
2．(2018·怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋2x＋c与x轴交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
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(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)， 即y＝ax－2ax－3a， ∴－2a＝2，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋3； 当x＝0时，y＝－x＋2x＋3＝3，则C(0,3)． 设直线AC的解析式为y＝px＋q，
??－p＋q＝0，
把A(－1,0)，C(0,3)分别代入，得?
?q＝3，???p＝3，
解得?
?q＝3，?
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∴直线AC的解析式为y＝3x＋3；
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(2)∵y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4， ∴顶点D的坐标为(1,4)，
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如答图1，则B′(－3,0)．∵MB＝MB′， ∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小，而BD的值不变， ∴此时△BDM的周长最小．
易得直线DB′的解析式为y＝x＋3， 当x＝0时，y＝x＋3＝3， ∴点M的坐标为(0,3)．
(3)存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，如答图2. ∵直线AC的解析式为y＝3x＋3， 1
∴直线P1C的解析式可设为y＝－x＋b，
3把C(0,3)代入，得b＝3，