于是A有两个实特征值为及一对共轭复特征根，它来自2*2

矩阵块的特征根。

简评

本章但绍的幂法，Jacobi方法及QR方法是求矩阵特征值和特征向量的常用数值方法，它们都是造构造迭代产生的矩阵序列来达到目的的。

幂法计算简单，特别适用于高阶稀疏矩阵，但其收敛速度不能令人满意，要想加快幂法的收敛速度可采用反幂法及位移技术，在关主方面的内容可参看文献 。

Jacobi方法是古典方法，它收敛快，精度高，便于并行计算且算法稳定。用Jacobi方法求出的特征向量在较好的正交性，不过它的计算量较大，当阶数n增大时收敛速度减慢，因此Jacobi方法适用于求低阶的对称矩阵的全部特征值和特征向量。

QR方法是60年代发展起来的，被人们称为数值数学，最值得注意的算法之一，它是目前求任意矩阵全部特征值和特征向量最有效的方法。

Jacobi方法

Jacobi方法也称旋转法,是求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法

基本思想

将实对称矩阵进行一系列的相似正交变换使其约化成一个近似对角矩阵，然后利

用相似正交变换的关系来求全部特征值和特征向量。由于这里的正交相似变换主要采用旋转变换，这就是称Jacobi方法为旋转法的原因。

1 构造原理

线性代数理论指出：若矩阵A是实对称矩阵，则 一定正交相似于对角形，即存在一个正交矩阵 和对角矩阵 ，满足 。因相似矩阵具有相同的特征值，而对角矩阵的特征值就是对角线上的 个元素，由此可得原对

称矩阵 的个特征值，此外由相似关系，可得正交矩阵 的 个列向量就是A的n个线性无关特征向量。于是求实对称矩阵A的全部特征值和特征向量问题可转化为求正交相似矩阵P及相似对角形λ的问题。为构造相应的算法，注意到实对称矩阵总与二次型一一对应的，当一个二次型中没有交叉项时，其对应的实对称矩阵就是对角形，于是将一个二次型通过正交变换化为无交叉项的二次型指出了寻找正交矩阵的方法。为找出一种具体的方法，先考虑两个自变量的完全二次型的变化情况：

设两个变元的二次型为将写成矩阵形式就是

取二阶旋转变换

,

则有

这里

要使二次型无交叉变换，只要适当选择，使即可，由此得应取为使

，这样二次型变为无交叉项了。

若令

A

则有PAP=P

T

-1

P λ

AP=λ

。 P也称旋转矩阵，它是正交阵。

这说明用旋转矩阵做正交相似变换可将实对称矩阵化为对角形。为得到n阶旋转矩阵，将2阶旋转阵作如下推广

定义3. n阶矩阵

称为 n阶旋转矩阵或Givens矩阵。

易验证J(i, j, )= J(i, j,

-1)，故J(i, j,

T)是正交矩阵。若将用J(i, j,

)对实对称矩阵

A=(a

ij

)做正交相似变换，

则有J(i, j, )A J(i, j,

T)=A=(aij

(1)

```

)

直接计算会发现A只变化了第i,j两行和i,j两列，

即

选取，则有

(1)

，于是经一次旋转正交变换的实对称矩阵

A变为A，它比A更靠近对角形一步（因为有两个非对角线元素变为零了），但有与A相同的特征值。

)做正交相似变换，就可期望变换若干步后，最终获得所要的对

如果每次都选不同的旋转矩阵J(i, j,

角形矩阵，这个期望可由如下定理给予证实。

定理2. 设实对称矩阵是n阶旋转矩阵序列，

若记

这里A与A

(k)

(k-1)

相比是A的

(k)

,

则有

其中λ1,λ2,...λn是A的n个特征值。