.

于是有 B2?2πr??0I，得B2?（3）b

应用安培环路定理

?0I2πr

?B?dl???IL0ii，在b

?iπ(r2?b2)Ii?I?I

π(c2?b2)?π(r2?b2)?于是有 B3?2πr??0?I?I 22?π(c?b)??解得 B3?（4）r >c

应用安培环路定理B?dl??0L?0I(c2?r2)2πr(c2?b2)

??Iii，在r >c空间作环形闭合回路L，包围的电流

?Iii?I?I

于是有

B4?2πr??0(I?I)，得B4?0

题7-12图（1）

7-12 图中所示为一无限大载流导电薄片的横截面，电流垂

直地从页面流出，通过横截面每单位宽度（沿x向）的电流强度为j。（1）用毕奥–萨伐尔定律和对称性确定薄片上、下方所有点的磁场方向均平行于薄片，且在页面内（见图）；（2）用安培环路定理证明，在所有点P和P处的磁感应强度

B?1?0j。 2解 （1）该无限大载流导电薄片可看作是由无数条无限长载流直导线组成。P点为薄片上方任意一点，根据毕奥–萨伐

尔定律可知每条直导线在P点产生的磁场均在页面内。又根题7-12图（2） 据对称性，P点左侧-x0处直导线与右侧x0处直导线产生的磁场的磁感应强度在y轴上分量大小相等方向相反，而在x轴上分量大小相等方向相同（如右图），因此合成后P点处总的磁场方向应该平行于薄片向左，且在页面内。

同理亦可推知薄片下方任意一点P处总的磁场方向应该平

题7-12图（3）

行于薄片向右，且在页面内。

（2）作对称于载流导电薄片的矩形环路，如右图，ab长为l1，bc长为l2，则环路中包围的电流为jl1。由安培环路定理?B?dl??0?I，即

L

??baB?dl??B?dl??B?dl??B?dl??0jl1

bcdcdacda在ab段和cd段上B的方向均与dl相同，而在bc段和da段上B的方向与dl垂直，故有

baB?dl(cos0?)??B?dl(cos90?)??B?dl(cos0?)??B?dl(cos90?)?2Bl1??0jl1

bcd可编辑

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解得 B?

?0j2

题7-13图（1）

7-13 两无限大平行导体平面上都有均匀分布的电流，其面电流密度分别为j1和j2，且j1 > j2（见附图），试求两平面间和两平面外的磁感应强度。

解 利用上题结论，将两载流平面产生的磁场进行叠加计算。 两平面间P点，磁场B1与B2方向相反，如图（2）：

题7-13图（2）

(j1?j2)

2两平面外Q点，磁场B1与B2方向相同，如图（2）：

BP?B1?B2?

?0BQ?B1?B2??02(j1?j2)

7-14 一长直导线中通有电流I1，近旁有一矩形线圈，其长边与导线

平行。若线圈中通有电 流I2，线圈的位置及尺寸如图所示。当I1=20A、I2=10A、x1=1.0cm、x2=10cm、l=20cm时，求矩形线圈所受力的大小和方向。

解 根据安培定律判断，矩形线圈上、下两载流导线受力大小相等而方向相反，相互抵消。左、右两侧载流导线受力方向相反，但大小不等。

由安培环路定理可知，长直载流导线在线圈左、右两侧处产生的磁感

?I?I应强度分别为B1?01和B2?01，由此

2πx12πx2?I线圈左、右两侧载流导线受力大小分别为 F1?B1I2l?01I2l

2πx1

?IF2?B2I2l?01I2l

2πx2线

所受

?I?IF?F2?F1?01I?01I2l??7.2?10?4 N

2πx22πx1圈

合

力

题7-14图

负号表示合力方向水平向左。

题7-15图

7-15 如图所示，ADC为弯成任意形状的导线，被置于与均匀磁场B垂直的平面内。求证：

当弯曲导线ADC通以电流I时，均匀磁场对它的作用力与AC间通有同样电流的直导线所受的力相同。

证明 在弯曲导线ADC上选取图示的坐标系xoy，在导线上取电流元Idl。

电流元在磁场中受到磁场力 df?Idl?B?I(dxi?dyj)?Bk

可编辑

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=IBdx(?j)?IBdyi 因

此

ADC弯

l0曲导

00线ADC受合力

题7-16图

FADC??df??IBdx(?j)??IBdyi??IBlj

根据安培定律，长l的载流直导线AC在匀强磁场中受力FAC=IBl，方向沿y轴负向。显然，它与弯曲导线ADC所受磁场力的大小和方向均相同，即FADC=Fac。从而证明了匀强磁场中任意形状一段载流导线ADC所受磁场力，与AC间通有同样电流的直导线所受的力相同。 7-16 一长直导线通有电流I =20A，另一导线ab通有电流I=10A，两者互相垂直且共面，如图所示。求导线ab所受的作用力和对o点的力矩。

解 建立如图所示的坐标，导线ab于 x轴上。由安培环路定律解得，载流长直导线周围的磁感应强度为B??0I2πx。

在ab上取一电流元I'dx，受力大小为 dF?BI'dx?导

ba?0II'dx线ab0.100.010所受的总作用

2πx力

F??dF???0II'dx2πx?9.2?10?5 N

对

题7-17图

方向沿y轴。 电流元

I'dx?0II'dx2π所

O点的力矩

dM?xdF?xBI'dx?导

ba线

0.1.ab0.01.受的总力矩

M??dM??

?0II?dx2π?3.6?10?6N

7-17 在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一载流矩形闭合回路，其边长分别为a和b，电流强度为I。试求在图示位置时该回路的磁矩pm和磁力矩M。 解 根据定义，磁矩大小为 Pm?IS?Iab 方向垂直纸面向里。

磁力矩M?Pm?B，其大小为 M?PmBsin90??BIab 方向沿oo’竖直向下。

题7-18图

7-18 一半径为R的圆形导线中通有电流I2，在沿直径ab方向上有一载有电流I1的无限长直导线（彼此绝缘），方向见图。求：（1）半圆弧acb所受作用力的大小和方向；（2）整个圆形导线所受作用力的大小和方向。 解 （1）建立如图所示的坐标系。在半圆弧acb上任取一电流元I2dl。电流元所在处的磁场垂直纸面向外，磁感应强度B??0I1。

2?Rsin?可编辑

.

电流元受到磁场作用力的大小为dF?BI2dl，方向指向圆心。 该力在x方向的分量 dFx?dFsin?， 则半圆弧acb在x方向所受的合力 Fx??dfx??BI2sin?dl??π?0I12πRsin?0I2Rsin?d?

??π?0I1I22π0d???0I1I22

磁场力在y方向的分量 dFy?dFcos? 则半圆弧

acbπ0在y方向受到的合力

Fy??BI2cos?dl??π?0I12πRsin?I2Rcos?d?

=

?0?0I1I2?d??0

2πtan?Fy也可由对称性分析得到同样的结果。所以半圆弧acb受力沿

题7-19图 ?IIx轴正向，大小为012。

2（2）用类似方法可分析另一侧半圆弧，它与acb受力大小和方向均相同，故整个圆形导线

所受作用力大小为?0I1I2，方向沿x轴正向。

7-19 如图所示，一闭合回路由半径为a和b的两个同心半圆连成，载有电流I。试求（1）圆心P点处磁感应强度B的大小和方向；（2）回路的磁矩。

解 （1）o点磁场仅由两载流半圆弧激发。根据毕奥–萨伐尔定律，电流元Idl在o点产生的磁感应强度dB?半径为

?0Idlsin?aπa04πr2的圆弧在

，且??π2。

o的磁感应强度为

B??dB??l?0Idl?0I? 24πr4a的圆弧在

半径为bπb0o的磁感应强度为

B??dB??lμ0Idlμ0I? 4πr24b点处总磁感应强度

题7-20图

由磁场叠加原理，P4a4b4ab方向垂直纸面向里。

BP??0I??0I??0I(a?b)

（2）根据磁矩定义 Pm?IS?方向垂直纸面向里。

1211πaI?πb2I?πI(a2?b2) 2227-20 质谱仪的构造原理如图所示。离子源S提供质量为M、电荷为q的离子。离子初速很

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