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第7章 恒定磁场
7-1在闪电中电流可高达2104A，若将闪电电流视作长直电流，问距闪电电流1.0m处的磁感应强度有多大？
解 根据安培环路定理
?B?dl???IL0ii，
与长直电流相距r处的磁感应强度为 2πrB??0I 解得相距1.0m处的磁感应强度的大小 B??0I2πr?4?10?3 T
7-2 如图所示，两根无限长直导线互相垂直地放置，相距d=2.010-2m。设两根导线通过的电流均为I=10A，求两导线垂直距离中点P处的磁感应强度。
解 两根载有相同电流的无限长直导线在P处的磁感应强度的大小相同，由安培环路定理
?B?dl???IL0ii
题7-2图
d 2πB??0I
2得 B1?B2??0I2πd/2?2?10?4 T
B1和B2的方向分别指向x轴的负方向和z轴的正方向。
2由磁场叠加原理，P处磁感应强度的大小为 BP?B12?B2??0I2πd2?2.8?10?4 T
BP的方向在x-z平面内，与z轴正方向和x轴负方向均成45°夹角。
7-3 如图所示，一无限长载流绝缘直导线弯成如附图所示的形状。求使o点的磁感应强度为零的半径a和b的比值。
解 该载流系统由三部分组成，o点的磁感应强度为载有相同电流的无限长直导线及两个半径分别为a和b的圆环分别在该处激发的磁感应强度的矢量和。设磁场方向以垂直纸面向内为正，向外为负。 由安培环路定理
题7-3图
?B?dl???IL0ii
无限长载流直导线在o点的磁感应强度为 2πbB直线??0I，B直线?根据毕奥–萨伐尔定律，电流元Idl在o点的磁感应强度dB?对两载流圆环分别积分，有 B大环??l?0I2πb
?0Idlsin?4π2πb0r2，其中??π2，
?0Idl4πr20???0Idl4πb2??0I2b
可编辑
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B小环??l?0Idl4πr20??2πa?0Idl4πa20??0I2a
由磁场叠加原理 B?B直线?B大环?B小环
?解得
?0I2πb??0I2b??0I2a?0
aπ ?bπ?17-4 如图所示，两导线沿半径方向引到铁环上a、b两点，并与远处的电源相连，已知环的粗细均匀，求环中心o的磁感应强度。 解 设aeb长为l1，ab长为l2。并设磁场方向以垂直纸面向内为正，向外为负， 因为Uaeb?Uab，即I1?l1S?I2?l2S，所以I1l1?I2l2。
题7-4图
根据毕奥–萨伐尔定律，电流元Idl在圆心o点的磁感应强度dB?对两载流圆弧分别积分，有 Baeb??dB??aebl1?0Idlsin?4π??r2，式中??π2。
?0I1dl4πr2?0I1l14πr20 Bab??dB??abl2?0I2dl4πr2?0I2l24πr20由磁场叠加原理，o点的磁感应强度的大小为B?
?0I1l1?0I2l2?0??(I1l1?I2l2)?0 4?r24?r24πr27-5 一根无限长直导线通有电流I=4A，中部被弯成
半圆弧形，半径r=10cm。求圆弧中心的磁感应强度。 解 无限长直导线的直线部分在O点产生的磁感应强度为0，所以 O点的磁场仅由载流半圆弧激发。
根据毕奥–萨伐尔定律，电流元Idl在O点的磁感应强度dB?故有 B??dB??方向垂直纸面向内。
7-6 将一段导线弯成半径分别为R1和R2的同心1/4圆弧，并与两段径向直线段组成一闭合回路。回路中通有电流I，方向如图所示。求圆心o处的磁感应强度B的大小和方向。
解 两段径向直线段在o点不产生磁场，所以只需将大、小两个圆弧在o点产生的磁感应强度进行叠加。
根据毕奥–萨伐尔定律，电流元Idl在 o点的磁感应强度
πr
题7-5图
?0Idlsin?4π2r2，式中??π2，
?0Idl4πr0??0I4r?1.26?10?5 T
题7-6图
dB??0Idlsin?4πr2 式中??π2
可编辑
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对两圆弧分别积分，有 B1??dB??L1πR12?0Idl4πR120??0I8R1，方向垂直纸面向外。
B2??dB??L2πR22?0Idl4πR220??0I8R2，方向垂直纸面向里。
1?0I1?0I?0I11??(?)， 42R142R28R1R2两同心1/4圆弧在o点产生的总磁感应强度B?B1?B2?方向垂直纸面向外。
7-7 如图所示，一根长为L的导线，载有电流I。试求：（1）该导线在其
中垂线上与导线相距为L/2的P点处所产生的磁场的磁感应强度；（2）在P点正上方相距L/2处的Q点的磁感应强度。 解 利用长直载流导线的磁场公式B?（1）对于P点，cos?1?cos?0I4πa(cos?1?cos?2)求解。
π23π2L
，cos?2?cos，a?， ???42422
P点的磁感应强度 BP?方向垂直纸面向里。 （2）对于Q点， cos?1??0I4πa(2?0I22 ?)?222πL题7-7图
LL2?(L24)?2πL
， cos?2?cos?0，a?，
225BQ?Q点的磁感应强度
方向垂直纸面向里。
?0I4πa(?I2?0)?0 55πL7-8 一均匀磁场的磁感应强度B=2.0T，方向沿x轴正向,如图所
示。试求：（1）通过图中abcd面的磁通量；（2）通过图中befc面的磁通量；（3）通过图中aefd面的磁通量。
解 （1）根据磁通量定义 Φ?BScos? 对于abcd面，??π， 则通过该面的磁通量
Φabcd?BSabcdcosπ
题7-8图
??0.24 T （2）对于befc面，??π2, 则通过该面的磁通量
Φbefc?BSbefccosπ?0 2（3）对于aefd面，Saefdcos??Sabcd，则 Φaefd?BSaefdcos??BSabcd?0.24 T
可编辑
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7-9 一个非均匀磁场磁感应强度的变化规律为B=ky（k为常量），方向垂直纸面向外。磁场中有一边长为a的正方形线框，其位置如图所示。求通过线框的磁通量。
解 在线框内坐标为y处取一长为a宽为dy的矩形面积元dS，在dS中磁场可认为是均匀的， 则通过dS的磁通量
dΦ?BdS?kyady
题7-9图 对正方形线框平面积分， 得
Φ??dΦ??kyady?0a13ka 27-10 两根平行的长直导线相隔0.75cm，且都垂直于图示的平面。导线1载有6.5A流入页面的电流。要使图中P点的合成磁场为零，试确定导线2中电流的大小和方向。
解 根据安培环路定理，
?B?dl???IL0ii
对长直导线1，有 2πl1B1??0I1，B1??0I12πl1
对长直导线2，有 2πl2B2??0I2，B2??0I22πl2
题7-10图
两长直导线在P点产生的磁感应强度的大小相等，即B1?B2，于是有由此解得 I2?l2I1?4.33 A， l1?0I12πl1??0I22πl2，
为使P点的合成磁场为零，则导线1和导线2中电流的流向必需相反，故长直导线2中电流方向垂直纸面向外。
7-11 同轴长电缆由内、外两导体构成，内导体是半径为a的实心圆柱，外导体是内外半径分别为b和c的圆筒。在两导体中，大小相等、方向相反的电流I通过。试求磁感应强度B的分布：（1）圆柱导体内离轴r处（r 应用安培环路定理B?dl??0L 题7-11图 ??Iii，在r ??a2Ii?2I， ?r?Irπa2于是有 B1?2πr??0I2，得B1?02 πr2πa（2）a 应用安培环路定理B?dl??0L??Iii，在a ?Iii?I， 可编辑