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www.jyeoo.com 222决定，△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 14．（2014?烟台）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大． 其中正确的结论有（ ）

2

A．1个 B． 2个 考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 代数几何综合题；数形结合． 分析： 根据抛物线的对称轴为直线x=﹣C． 3个 D． 4个 =2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小． 解答： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2， ∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）； ∵当x=﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0， 即9a+c＜3b，（故②错误）； ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0， 而b=﹣4a， ∴a+4a+c=0，即c=﹣5a， ∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）； ∵对称轴为直线x=2， ∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大， 当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）． 故选：B． 点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，222△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

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www.jyeoo.com 215．（2014?贵港）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：

222

①abc＜0；②b﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）＜b， 其中正确的结论有（ ）

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： ①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号； ②由抛物线与x轴有两个交点判断即可； ③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误； ④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，22根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）＜b， 解答： 解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误； ②由抛物线与x轴有两个交点，可得b﹣4ac＞0，故②正确； ③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1） 当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2） （1）+（2）×2得：6a+3c＜0， 即2a+c＜0 又∵a＜0， ∴a+（2a+c）=3a+c＜0． 故③错误； ④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0， ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0， 22即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）﹣b＜0， 22∴（a+c）＜b， 故④正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 16．（2014?莱芜）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示．下列结论：

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①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）＜b 其中正确的个数有（ ）

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22 ?2010-2014 菁优网

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1 2 3 4 A．B． C． D． 考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 数形结合． 分析： 由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=12222时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）﹣b＜0，即（a+c）＜b． 解答： 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴x=﹣＜0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0，（故①正确）； ∵﹣1＜﹣＜0， ∴2a﹣b＜0，（故②正确）； ∵当x=﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）； ∵当x=﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0， 22∴（a+c）﹣b＜0，（故④正确）． 综上所述，正确的个数有4个； 故选：D． 点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣22；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b﹣4ac＞0，抛物线与x轴有2两个交点；当b﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 17．（2014?深圳）二次函数y=ax+bx+c图象如图，下列正确的个数为（ ）

①bc＞0； ②2a﹣3c＜0； ③2a+b＞0；

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www.jyeoo.com 2④ax+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0； ⑤a+b+c＞0； ⑥当x＞1时，y随x增大而减小．

2 3 4 5 A．B． C． D． 考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： 根据抛物线开口向上可得a＞0，结合对称轴在y轴右侧得出b＜0，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得c＜0，再根据有理数乘法法则判断①；再由不等式的性质判断②；根据对称轴为直线x=1判断③；根据图象与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；由x=1时，y＜0判断⑤；根据二次函数的增减性判断⑥． 解答： 解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号即b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴c＜0， ∴bc＞0，故①正确； ②∵a＞0，c＜0， ∴2a﹣3c＞0，故②错误； ③∵对称轴x=﹣＜1，a＞0， ∴﹣b＜2a， ∴2a+b＞0，故③正确； 2④由图形可知二次函数y=ax+bx+c与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧， 2即方程ax+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0，故④正确； ⑤由图形可知x=1时，y=a+b+c＜0，故⑤错误； ⑥∵a＞0，对称轴x=1， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故⑥错误． 综上所述，正确的结论是①③④，共3个． 故选：B． 点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换． 18．（2014?黔东南州）如图，已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：

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①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b﹣4ac＞0 其中正确结论的有（ ）

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