2155
∵0≤λ≤1，∴－2≤－13λ＋2≤2. 215?→·→的取值范围是??－2，2?.故选D. ∴BDAC
??
x2y2
11．已知椭圆a2＋b2＝1(a>0，b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其?ππ?
右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈?12，4?，则该椭圆的离心率e的取值
??范围是(A)
?2?2?1?26?3?3?6?
A.?，? B.?，? C.?，? D.?，?
3?3?3??2?2?23??3
x2y2
【解析】已知椭圆a2＋b2＝1(a>0，b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|＋|AN|＝2a，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以2a＝2ccos α＋2csin α，
2c1
利用e＝2a＝＝
sin α＋cos α
1πππ2?ππ?
?，?
π?，∵α∈?124?，∴3≤α＋4≤2，2?
2sin?α＋4?
??
≤
16?26?
?，?，故选A. ≤，即椭圆离心率e的取值范围是
π?33???2
2sin?α＋4?
??
12．设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2x和y＝2x＋1的图象相交于点A，B，
若在函数y＝2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l(C)
A．至少一条 B．至多一条 C．有且只有一条 D．无数条
【解析】设直线l的方程为y＝a(a＞0)，由2x＝a，得x＝log2a，所以点A(log2a，a)．
5
由2x＋1＝a，得x＝log2a－1，所以点B(log2a－1，a)，从而|AB|＝1. 如图，取AB的中点D，连接CD.因为△ABC为等边三角形，则CD⊥AB， 13?13?
且|AD|＝2，|CD|＝2，所以点C?log2a－，a－?.
22??31a
因为点C在函数y＝2x的图象上，则a－2＝2log2a－2＝，
2解得a＝
3
，所以直线l有且只有一条，选C. 2－2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
1
13．由一个长方体和两个4圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体π的体积为__2＋2__．
【解析】由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1＝2×1×1＝2， 11π圆柱的底面半径为1，高为1，则4圆柱体的体积V2＝4×π×12×1＝4， π
则该几何体的体积V＝V1＋2V2＝2＋2. ?log2（x2＋x＋a），x≥0，
14．已知函数f(x)＝?的值域为R，则实数a的最大
?1－x2，x<0值是__2__．
【解析】当x＜0时，f(x)＝1－x2＜1.因为f(x)的值域为R，则当x≥0时，f(x)min≤1. 因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(0)≤1，即log2a≤1，所以0＜a≤2.a的最大值为2.
15．已知点A(1－m，0)，B(1＋m，0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P，使得PA⊥PB，则正实数m的取值范围是__[4，6]__．
6
【解析】圆C的方程化为：(x－4)2＋(y－4)2＝1. ∴设P(4＋cos θ，4＋sin θ)，
如图，线段AB的中点坐标为(1，0)，|AB|＝2|m|， ∴P点到线段AB中点的距离为|m|， ∴(3＋cos θ)2＋(4＋sin θ)2＝m2， ∴26＋6cos θ＋8sin θ＝m2，
3
∴26＋10sin(θ＋φ)＝m2，其中tan φ＝4， ∴16≤m2≤36，又m>0，∴4≤m≤6.
an?1?
16．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N)．bn＋1＝(n－2λ)·?a＋1?
an＋2?n?2??
(n∈N)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是__?－∞，3???__．
an
【解析】因为an＋1＝
an＋22n－1＝2n，
所以bn＋1＝(n－2λ)·2n，因为数列{bn}是单调递增数列，所以当n≥2时，bn＋
nn－1
1>bn(n－2λ)·2>(n－1－2λ)·2
2＝a＋1an＋1n
1
?1?
＋1＝2?a＋1?an＋1?n?11?1?
?a＋1?＋1＝an?1?
n>2λ－12>2λ－1
3
λ<2；当n＝1时，b2>b1
(1
22
－2λ)·2>－λλ<3，因此λ<3.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或
7
演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)
B＋C
在锐角△ABC中，3sin2－cos A＝1. (Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求cos B＋cos C的取值范围．
B＋CAA
【解析】(Ⅰ)由已知，3sin2－cos A＝1，即3cos2＝2cos22.(2分) AπAA3
在△ABC中，因为0 所以2＝6，即A＝3.(6分) 2πππ (Ⅱ)由(Ⅰ)知，在锐角△ABC中，B＋C＝3，则6 cos B＋cos C＝cos B＋cos?3－B?＝sin?B＋6?，(9分) ????π?ππππ2π3? 由6 ???3? 即cos B＋cos C的取值范围是?，1?.(12分) ?2? 18．(本小题满分12分) 如图，三棱锥P－ABC的顶点P在圆柱轴线O1O上，底面△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，且∠ABC＝60°，O1O＝AB＝4，⊙O1上一点D在平面ABC上的射影E恰为劣弧AC的中点． 8