近世代数习题解答 第二章 24

下面证明G关于代数运算ο是封闭的。 ?x，y∈G，即x≠－1，y≠－1，如果

xοy＝x＋y＋xy＝－1，

则可得 (x＋1)(y＋1)＝0，有x＝－1或y＝－1，矛盾。所以，xοy≠－1。

由?a∈G，0οa＝aο0＝x，得0是G的单位元。

而对于?a∈G，由aοx＝0可解得x＝?元，且a＝?－1

a1?a，即a是可逆

a1?a。

综上所述，(G，ο)是一个交换群。

－1－1

因为方程2οxο3＝7的解为x＝2ο7ο3。 而

2－1＝?所以，

x＝2－1ο7ο3－1＝????2??3??ο7ο??? 3??4?21?2＝－

23， 3－1＝?31?3＝－

34，

＝?????53????3?2??2???7?????7?ο??? 3??3???4?＝

ο????13??＝?。

34?6．设G是群，?a，b，c∈G，证明方程 xaxba＝xbc

近世代数习题解答 第二章 25

在G中有且仅有一个解。

解：先证方程有解。取x＝abcab，因为G是一个群，所以x是G中的元素。分别代入方程的两边：

－1－1－1－1－1－1

左边＝xaxba＝(abcab)a(abcab)ba ＝a－1bca－1c＝(a－1bca－1b－1)bc＝xbc＝右边。

再证唯一性。如果方程在G中有两个解x1，x2∈G，即得

x1ax1ba＝x1bc，x2ax2ba＝x2bc，

因为在G中消去律成立，则得

ax1ba＝bc，ax2ba＝bc，

再由ax1ba＝ax2ba，左、右分别消去a，ab，得x1＝x2。

7．设G是一个群，x，y∈G，证明

－1k－1k

(xyx)＝xyx ? y ＝y。

证明：因为

－1k－1k

(xyx)＝(xyx)(xyx)?(xyx)＝xy x，

???????????－1

－1

－1

?1?1?1k个(x?1yx)所以，x－1y kx＝x－1yx，两边分别左乘x和右乘x－1得y k＝y。

反之亦然。

8．设G是一个群，?x，y∈G，证明

－1

(1) a与a是同阶的； (2) ab与ba是同阶的。

解：(1) 如果a与a－1都是无限阶元，则结论正确。

近世代数习题解答 第二章 26

如果a与a－1中至少有一个是有限阶的，我们不妨假设a的阶

n

有限，设 | a |＝n，即n是使得a＝e的最小正整数。那么，

－1nn－1－1

(a)＝(a)＝e＝e，

－1－1－1－1

从而得 | a |≤| a |，因为a与a是互为逆元素，即(a)＝a，

－1－1－1 －1

所以仍有 | a|＝|(a)|≤| a |。证得| a|＝| a|。

(2) 如果ab与ba都是无限阶元，则结论正确。

如果ab与ba中至少有一个是有限阶的，我们不妨假设ab的阶有限，设 | ab |＝n，则 (ba)

n＋1

＝(ba)(ba)?(ba)＝b(ab)(ab)?(ab)a＝bea＝ba， ??????????????n?1个ban

n个ab上式中消去ba，则有 (ba)＝e，即 | ba |≤n＝| ab |。

由于ba的阶有限，重复以上的证明，我们同理可得

| ab |≤| ba |。

9．若群G中每一个元素都适合方程x2＝e，则G是交换群。

证明：?x，y∈G，则有xy∈G，由条件可知

x2＝e，y2＝e，(xy)2＝e，

从而有 (xy)2＝e＝ee＝x2y2， 即 (xy)(xy)＝e＝(xx)(yy)，

左消去x，右消去y，得yx＝xy。所以G是一个交换群。

10．在有限群里，阶数大于2的元素个数一定是偶数。

证明：由本节的习题8可知，元素a与a－1的阶是相同的。也就是说，如果a阶大于2，则a－1也大于2。下面只需证明：群G

近世代数习题解答 第二章 27

中阶大于2的元素a与a－1成对出现即可。

－1－12

首先，a≠a，如果a＝a，即a＝e，与a的阶大于2矛盾。

－1－1

其次，如果两个阶大于2的元素a，b有a≠b，则必有a≠b。

11．分别写出例6，例7中(Z3，＋)与(D3，·)的运算表。

解：在(Z3，＋)中，其运算为：

a＋b＝a?b，

所以，其运算表为：

＋ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

在(D3，·)中，

22

D3＝{e，σ，σ，τ，τσ，τσ}，

其运算为变换的合成，根据

322

σ＝e，τ＝e，στ＝τσ，

可得D3的运算表：