近世代数习题解答 第二章 16

第二章 群论

§2.1 半群

1．设R是实数集，在R×R中规定

(a1，a2)?(b1，b2)＝??a1?b1a2?b2?,?， 22??问?是不是R×R的代数运算，(R×R，?)是不是半群？

解：注意到等式右边的运算指的是普通的实数运算，易知?是R×R的一个代数运算。

下面验证结合律，?(a1，a2)， (b1，b2)，(c1，c2)∈R×R，

[(a1，a2)?(b1，b2)]?(c1，c2) ＝??a1?b1a2?b2?,??(c1，c2) 22??a2?b2?a1?b1??c1?c2??22? ,＝?22??????＝??a1?b1?2c1a2?b2?2c2?,?，

44??近世代数习题解答 第二章 17

(a1，a2)?[(b1，b2)?(c1，c2)] ＝(a1，a2)???b1?c1b2?c2?,? 22??b1?c1b2?c2??a?a??1?222? ,＝?22??????＝??2a1?b1?c12a2?b2?c2?,?。

44??可知R×R的代数运算?不满足结合律， 所以(R×R，?)不是半

群。

2．设(S，·)是一个半群，证明S×S关于下面规定的代数运算作成半群，

(a1，a2)ο(b1，b2)＝(a1·b1，a2·b2)。

如果S是有单位元的交换半群，那么，(S×S，ο)是否仍是有单位元的交换半群？

证明：显然ο是S×S的一个代数运算。只需验证结合律。 ?(a1，a2)， (b1，b2)，(c1，c2)∈S×S，

[(a1，a2)ο(b1，b2)]ο(c1，c2)＝(a1·b1，a2·b2)ο(c1，c2) ＝((a1·b1)·c1，(a2·b2)·c2)＝(a1·(b1·c1)，a2·(b2·c2))

＝(a1，a2)ο((b1·c1)，(b2·c2))＝(a1，a2)ο[(b1，b2)ο(c1，c2)]。 所以，(S×S，ο)是一个半群。 当S是一个有单位元1S的半群时，(S×S，ο)也是一个有单位

近世代数习题解答 第二章 18

元的交换半群。(S×S，ο)的单位元为(1S，1S)。 当S是一个交换半群时，?(a1，a2)， (b1，b2)∈S×S，有

(a1，a2)ο(b1，b2)＝(a1 b1，a2 b2) ＝(b1a1，b2a2)＝(b1，b2)ο(a1，a2)]，

所以，(S×S，ο)也是一个交换半群。

3．证明数域P上所有n阶矩阵作成的集合Mn(P)关于矩阵的加法的乘法分别作成半群(Mn(P)，＋)与(Mn(P)，·)。

解：此题可用高等代数中有关矩阵的性质知，我们在这里不作具体地验证。

4．设A为非空集合，记

S1＝{ f | f为A的变换}， S2＝{ f | f为A的一一变换}。

证明：(S1，ο)，(S2，ο)都是半群(其中“ο”是映射的合成)。

解：由于映射的合成满足结合律，而变换是特殊的映射，所以变换的合成也满足结合律。只需看关于映射的合成是否对于S1，S2来说是封闭的就可以了。对于S1，运算封闭是显然的；而对于S2， 需证一一变换的合成仍是一一变换(具体的过程不写了)。

5．如上题，设A＝{1，2，3}，写出S2中的所有一一变换，并给出S2的运算表。

解：S2中共有6个变换：

f1：1?1，2?2，3?3； f2：1?1，2?3，3?2； f3：1?2，2?1，3?3； f4：1?2，2?3，3?1；

近世代数习题解答 第二章 19

f5：1?3，2?1，3?2； f6：1?3，2?2，3?1。 由于f1是恒等映射，则有f1οfi＝fi＝fiοf1，而对于其它映射的合成则需要逐个进行运算。如计算f2οf4，因为

1 ? 2 ? 3， 2 ? 3 ? 2， 3 ? 1 ?1， 得 f2οf4：1?3，2?2，3?1， 从而得到 f2οf4＝f6。 类似地，我们可以得其运算表为：

ο f1 f2 f3 f4 f5 f6

6．设

S＝??????a???0?b???a,b?R?， ?0???f4f2f4f2f4f2f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f2 f2 f1 f4 f3 f6 f5 f3 f3 f5 f1 f6 f2 f4 f4 f4 f6 f2 f5 f1 f3 f5 f5 f3 f6 f1 f4 f2 f6 f6 f4 f5 f2 f3 f1 证明S关于矩阵的乘法作成半群，且S有左单位元，但没有右单位

元。

若考虑