近世代数习题解答 第二章 32

ab∈?Hi＝H， a－1∈?Hi＝H，

i?Ii?I即证得H是G的一个子群。

(2) 群G的两个子群H1，H2的并H1∪H2未必是G的子群。我们给出一个反例。取G＝(Z，＋)，H1＝2Z，H2＝3Z，则H1∪H2中的元素或为偶数，或为3的倍数。因为

2∈H1?H1∪H2， 3∈H2?H1∪H2，

但2＋3＝5?H1∪H2，因为5既不是偶数，也不是3的倍数。由此可以看出H1∪H2关于加法运算不封闭，所以它不是G的子群。

7．设S是群G的任意非空子集，证明：

(1) HS＝{x∈G | xs＝sx，?s∈S} 是G的子群； (2) G的中心

C＝HG＝{x∈G | xg＝gx，?g∈G}

是G的子群，且C为交换群。

证明：由于(2)是(1)的特殊情形，我们只证(1)。

由于单位元e与G中的任意元素都可交换，所以，e∈HS，HS

非空。?a，b∈HS，即对于?s∈S有as＝sa，bs＝sb，从而

(ab)s＝a(bs)＝a(sb)＝(as)b＝(sa)b＝s(ab)，

再由as＝sa得a－1s＝sa－1，所以，ab，a－1∈HS。证得HS是G的一个子群。

8．设Hi (i＝1，2，3，?)是G的子群，并且

H1?H2???Hn??

近世代数习题解答 第二章

?33

证明：H＝?Hi是G的一个子群。

i?1

证明：H非空显然。

??a，b∈H＝

?Hi，则存在自然数m，n，使得a∈Hm，b∈

i?1Hn，不妨设m≤n，根据题中条件有Hm?Hn，所以，a，b∈Hn，由于Hn是G的一个子群，由子群的判别定理得

ab，a∈Hn ? ?Hi。

i?1?－1

?所以，H＝?Hi是G的一个子群。

i?19．设H是群G的非空子集，并且H的每一个元素的阶都有限，证明：H为G的子群的充分必要条件为：对于?a，b∈H有ab∈H。

证明：必要性显然。

－1

而对于充分性，我们只需证：?a∈H，有a∈H。

因为a∈H，而H中的元素都是有限阶的，即存在正整数m，使得

m

?a?aaa?a＝e， a＝aa??????m个am?1个a得a－1＝am－1∈H。

近世代数习题解答 第二章 34

§2.4 循环群

n

1．设Un＝{x∈C | x ＝1}，证明：Un关于数的乘法作成一个n

?阶循环群；设U＝?Un，则U关于数的乘法作成交换群，但U

n?1不是循环群。

?证明：先证U＝?Un是一个交换群。由于U是复数域的一个

n?1子集，满足交换律是显然的。

m

?a，b∈U，则存在正整数m，n，有a∈Um，b∈Un，即a＝1，bn＝1，有

(a－1) m＝(a m)－1＝1，(ab) m n＝a m n b m n＝1，

?即a，ab∈Umn??Un＝U。所以U是一个交换群。

n?1再证Un关于数的乘法作成一个n阶循环群。其实Un是复数域C中所有n次单位根所作成的集合，设

Un＝{1，α1，α2，?，αn－1}， 2?2?取α1＝cos＋i sin∈Un，则

nn?2??1，?3??1，?，?n?1??123n?1，1??1，

n近世代数习题解答 第二章 35

从而得Un是由α1生成的循环群。

最后证明U不是一个循环群。因为U中的每一个元素都是有限阶的，而U是一个无限群，因为一个有限阶元素不可能生成一个无限群。所以U不是一个循环群。

2．证明：n阶群是循环群当且仅当G中存在n阶的元素。

证明：设G是由元素a生成的n阶循环群，则生成元a的阶与群G的阶相等，即G中元素a，它的阶为n。

反之，如果n阶群G中存在一个n阶的元素a，则由a生成的G的子群(a)中含有n个元素，从而有G＝(a)，得G是一个循环群。

3．证明：循环群的子群仍是循环群。

证明：设循环群G＝(a)，H是G的一个子群。

如果H为单位元子群，则H＝{e}＝(e)，结论成立。

如果H≠{e}，则H中至少有两个元素，取b＝ak∈H，其中k是H中次数最小的正整数。下证ak是H的生成元，即H＝(a k)。

n

?x∈H?G，则存在整数n，使得x＝a，利用带余除法得

n＝kq＋r，其中q，r∈Z，0≤r＜k，

则 x＝an＝a k q＋r＝a k q a r，

kqr

由于x，(a)∈H，所以，a∈H，由k的最小性得r＝0，从而有n

nk qkkk

＝kq，即x＝a＝(a )∈(a )，证得H?(a )。而 (a )?H是显然的。从而证明了H是一个循环群。

4．设G，G′是有限循环群，| G |＝m，| G′|＝n，那么G与G′同态的充分必要条件是n | m。