?x??12?①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x??1，由?x2得y??

22?y?1??2设M(?1,22??????????∴ F2M?F2N?(?2,)、N(?1,?2222)，

wwwk5uom

2)?(?4,0)?4，这与已知相矛盾。

)?(?2,?2②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1)， 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，

?y?k(x?1)?联立?x2，消元得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0

2?y?1??2∴ x1?x2??4k221?2k2k∴ y1?y2?k(x1?x2?2)?，21?2k??????????又∵F2M?(x1?1,y1),F2N?(x2?1,y2)

??????????∴ F2M?F2N?(x1?x2?2,y1?y2)

1?2k,x1x2?2k?222，

wwwk5uom

??????????∴ F2M?F2N?(x1?x2?2)?(y1?y2)?22?8k?2?226?2k? ????2?2?1?2k1?2k3????222化简得40k4?23k2?17?0 解得k?1或k??221740(舍去)

∴ k??1

∴ 所求直线l的方程为y?x?1或y??x?1 ?????????????12分

22. （本小题满分14分）

设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?

（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；

wwwk5uom4?an1?an(n?N)。

*（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

*（III）记cn?b2n?b2n?1(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?32；

【解析】（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1

?an?1?an?5an?1,即an?1an??1414wwwk5uom

14

14∴数列?an?是首项为a1??

，公比为q??的等比数列，

9

∴an?(?144?(?)，bn?n141))n*(n?N) ?????????????3分

4（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。

4?(?1414))n1?(?n证明：由（I）知bn?1?(??b2k?1?b2k?8?5(?4)2k?1?4?n5(?4)?1516?1knwwwk5uom

?1?5(?4)2k?1?8??2016?4k?8?15?16?40(16?1)(16?4)kkk?8.

∴当n为偶数时，设n?2m(m?N?)wwwk5uom

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k5(?4)?1542nnwwwk5uom

∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 ?????????????8分 （III）由bn?4?cn?b2n?1?b2n?b1?3,b2?133得5wwwk5uom

15?16nnn?143?42n?1?1?(16?1)(16?4)?15?16n2nn(16)?3?16?4?15?16(16)n2n?1516n又

,?c2?32，

wwwk5uom

当n?1时，T1?当n?2时，

，

1Tn?43?25?(1162?1163???116n)?43?25?162[1?(1?11161)n?2]16694832wwwk5uom

?43?25?161?21??16 ?????????????14分

10