②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；

③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案】①③④

【解析】①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题

同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是真命题 ②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e

f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e

∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力

和数学阅读能力，具有选拔性质。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）

在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA?（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。

55,sinB?101055,sinB?1010

【解析】（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?2

1?sinB?255?3101021?sinA?255,cosB?31010?55 ?1010?22.

cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B??

?∴ A?B? ????????????????6分

4（II）由（I）知C? 由

asinA?bsinB3?4?，∴ sinC?csinC22

得

2b,c?5b

5a?10b?2c，即a?又∵ a?b?∴ 2b?b?∴ a?2,c?2?1

2?1 ∴ b?1

5 ????????????????12分

18. （本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的

31旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中

34

5

有

23（I）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

（II）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

【解析】I）由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡. 设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则

P(A)?C6C30C36211持银卡。

wwwk5uom

?27

2. ?????????????6分

7（II）设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：

事件B1为“采访该团2人,持金卡0人，持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则

P(B)?P(B1)?P(B2)?C21C2362所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是

?C9C6C23611?44105

44105所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是. ????????12分

19（本小题满分12分）

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，

AB?AE,FA?FE,?AEF?45

?（I）求证：EF?平面BCE；

（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面BCE （III）求二面角F?BD?A的大小。 【解析】解法一：

因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB， 所以BC⊥平面ABEF. 所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 所以∠AEB=45°， 又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因为BC?平面ABCD, BE?平面BCE, BC∩BE=B

所以EF?平面BCE

????????????????6分

1（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC AB2∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.

∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴ PM∥平面BCE. ????????????????8分 （III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD, 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH. ∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

6

设AB=1,则AE=1,AF=22,则FG?AF?sinFAG?1212

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+GH?BG?sinGBH?32?22FGGH??32423=

32,

,

wwwk5uom在Rt⊿FGH中, tanFHG?,

2 3 ????????????????12分解法二: 因?ABE等腰直角三角形，AB?AE，所以AE?AB

∴ 二面角F?BD?A的大小为arctanwwwk5uom

又因为平面ABEF?平面ABCD?AB，所以AE⊥平面ABCD，所以AE?AD

即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系,

(I) 设AB?1，则AE?1，B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0)

∵FA?FE,?AEF?45?，∴?AFE＝900，

11，） 2211EF?(0,?,?)，BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0)

2211于是EF?BE?0???0，EF?BC?0

22从而F（0，－wwwk5uom ∴⊥BE,EF⊥BC

∵BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC?BE?B

∴EF?平面BCE

（II）M(0,0,),P(1,2112,0)，从而PM?(?1,?11,) 22

111111,)?(0,?,?)?0???0 222244 ∴PM⊥EF，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PM∥平面BCE

于是PM?EF?(?1,?（III）设平面BDF的一个法向量为n1，并设n1＝（x,y,z) BD?(1,?1,0),BF?(0,?31,) 22?x?y?0??n1?BD?0? ? 即?3 1?y?z?0???n1?BF?02?2 取y?1，则x?1，z?3，从而n1＝（1，1，3） 取平面ABDD的一个法向量为n2?(0,0,1) n2?? cos?n1、n1?n2n1?n2?311?1?31111wwwk5uom

故二面角F?BD?A的大小为arccos

31111

7

20（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x3?2bx2?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。 （I）求函数f(x)的解析式； （II）设函数g(x)?f(x)?13mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时

对应的自变量x的值. 【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即4b?c?3?0??① 又f?(x)?3x2?4bx?c，由已知f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0??② 联立①②，解得b??1,c?1.

所以函数的解析式为f(x)?x3?2x2?x?2 ?????????????4分 （II）因为g(x)?x3?2x2?x?2?令g?(x)?3x?4x?1?213mx

13m?0

13m?0有实数解，

2当函数有极值时，则??0，方程3x?4x?1?wwwk5uom

由??4(1?m)?0，得m?1. ①当m?1时，g?(x)?0有实数x?23，在x?1323左右两侧均有g?(x)?0，故函数g(x)无极值

1?m),x2?13(2?1?m),g?(x),g(x)情况如下表：

②当m?1时，g?(x)?0有两个实数根x1?x g?(x) g(x) (??,x1) x1 (2?(x1,x2) x2 (x2??) + ↗ 0 极大值 - ↘ 0 极小值 + ↗ 所以在m?(??,1)时，函数g(x)有极值； 当x?13(2?1?m)时，g(x)有极大值；当x?13(2?1?m)时，g(x)有极小值；

?????????????12分

21. （本小题满分12分）

已知椭圆

x22wwwk5uom

22ab（I）求椭圆的标准方程；

?y2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e?，右准线方程为x?2。

??????????226（II）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且F2M?F2N?，求直线l的方程。

3?c2???a2【解析】（I）由已知得?，解得a?2?a?2??c2,c?1wwwk5uom

∴ b?a?c?1

x222∴ 所求椭圆的方程为

2（II）由（I）得F1(?1,0)、F2(1,0)

?y?1 ?????????????4分

28