p1?m?bj，p2??m?ai 动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为

I?p2?p1??m?(ai?bj)

2.6 作用在质量为10kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s。

（1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；

（2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和

一个具有初速度?6jm?s的物体，回答这两个问题。 解：(1)若物体原来静止，则

?1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56i[kg?m?s?1]，沿x轴正向，

00t4?v1??p1?5.6i[m?s?1],I1??p1?56i[kg?m?s?1] m?1若物体原来具有初速度v0??6jm?s，则

p0??mv0,p(t)??mv0??Fdt

0t于是 ?p2?p(t)?p0??p1 同理， ?v2??v1,I2?I1

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即I?令10t?t?200，解得t?10s。

2.7 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。

L

2?(10?2t)dt?10t?t0t2

S人 S船 习题2.7图 解：由动量守恒 M船V船?m人v人?0

9

又 S船?t?V0t船dt，

s人??v人dt??0tM船m人0V船dt?M船m人S船，

如图，船的长度 L?S船?s人 所以 S船?L3.6??1.2m M船1001?1?50m人即船头相对岸边移动S船?1.2m

2.8 质量m?2kg的质点,从静止出发沿X轴作直线运动，受力F?(12t)i(N)，试求开始3s内该力作的功。

解 A?而

?LFxdx??(12t)dx??(12tvx)dt

L03Fx12tvx?vx0??axdt??dt??tdt?3t2

00m20tt所以

?36?A???12t?3t?dt??36tdt??t4??729(J)

00?4?0323332.9 一地下蓄水池，面积为s?50m，水深度为1.5m，假定水的上表面低于地面的高度是

25.0m，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?

O

h0 y

h1 dy

Y 习题2.9图

解:建坐标如习题2.9图，图中h0表示水面到地面的距离，h1表示水深。水的密度为

10

??103kgm3，对于坐标为y、厚度为dy的一层水，其质量dm??sdy，将此层水抽到

地面需作功

dA?dmgy??sgydy

将蓄水池中的水全部抽到地面需作功

h0?h1h0?h1A??h0dA??h0?sgydy??sg??h0?h1??h02?

??122?1?sg?h12?2h0h1? 21??103?50?9.8??1.52?2?5.0?1.5??4.23?106(J) 22.9一炮弹质量为m，以速度v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其

速率分别为v?2kTm ，v?2Tkm。

证明：设一块的质量为m1，则另一块的质量为m2?km1。利用m1?m2?m，有 m1?mkm， m2? ① k?1k?1又设m1的速度为v1，m2的速度为v2，则有

T?1112m1v12?m2v2?mv2 ② 222m1v1?m2v2?mv [动量守恒] ③

联立①、③解得

v1?kv2?(k?1)v，v1?(k?1)v?kv2 ④

联立④、②解得

2T2T ?(v2?v)2，于是有v2?v?kmkm将其代入④式，有

?2T?v1?(k?1)v?k?v??v???km??2kT m2kT2T,v2?v?。 mkm又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当k?1时只能取 v1?v?2.10一质量为m的子弹射入置于光滑水平面上质量为M并与劲度系数为k的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了L，求子弹射入前的速度v0.

11

M m v0

习题2.10图

解： 子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度v1，由动量守恒，

?m?M?v1?mv0

此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，

11?m?M?v12?kL2 22由两式消去v1，解出v0得 v0?Lk?m?M? m2.11质量m的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从A滑到B。在B处时，物体速度的大小为vB。已知圆的半径为R，求物体从A滑到B的过程中摩擦力所作的功：(1)用功的定义求； (2)用动能定理求；(3)用功能原理求。

A

?

R

f

N

mg B

习题2.11图

解 方法一：当物体滑到与水平成任意?角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为

mgcos??f?mat?m即

dv dtdv dt ?f??mgcos??m注意摩擦力f与位移dr反向，且|dr|?Rd?，因此摩擦力的功为

|dr|dv

00dt?2vB12 ??mgR?cos?d??m?vdv??mgR?mvB002Af????2mgcos?Rd??m?vB 12