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反射四边形EFGH．

计算与猜想：

（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周

长是否为定值？

启发与证明：

（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用

小华同学给我

们的启发证明（2）中的猜想．

【答案】解：（1）作图如下：

（2）在图2中， EF?FG?GH?HE?22?42?20?25，

∴四边形EFGH的周长为85。

在图3中， EF?GH?22?12?5，FG?HE?32?62?45?35，∴四边形EFGH的周长为2?5?2?35?85。 猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。 （3）延长GH交CB的延长线于点N，

∵?1??2，?1??5，

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∴?2??5。 又∵FC=FC，

∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。 ∴EF=MF，EC=MC。

同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。

∵?M?90???5?90???1，?N?90???3，?1??3，∴?M??N。 ∴GM=GN。

过点G作GK⊥BC于K，则KM?MN?8。 ∴GM?GK2?KM2?42?82?45。

∴四边形EFGH的周长为2GM?85。∴矩形ABCD的反射四边形的

周长为定值。

【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。

（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图

3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。

（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全

等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出KM?MN?8，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。

例7：（2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上

移动，但点A

到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；

（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由. （2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.

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练习题：

1. （2011湖南岳阳8分）如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．

（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）． 求证：BH?GD=BF2

（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG． 探究：FD+DG= ．请予证明．

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2. （2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；

（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

3. （2011湖南郴州10分）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F． （1）求证：△PQE∽△PMF；

（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想； （3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．

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