几何定值

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2. (2011广东河源9分)如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD. (1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP=___________;(直接写结果) (2)连结AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动而变化?请说明理由;

(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)

3. (2011湖南长沙10分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时,记Q得位置为B。 (1)求点B的坐标;

(2)求证:当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值;

(3)是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。

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4. (2011福建泉州14分)如图1,在第一象限内,直线y=mx与过点B(0,1)且平行于x轴的直线l相交于点A,半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E,且与直线l分别交于不同的M、N两点. (1)当点A的坐标为(3,p)时, 3①填空:p=___ ,m= ___,∠AOE= ___. ②如图2,连接QT、QE,QE交MN于点F,当r=2时,试说明:以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形; (2)在图1中,连接EQ并延长交⊙Q于点D,试探索:对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c,a的值会变化吗?若不变,求出a的值;若变化.请说明理由.

5. (2011福建三明14分)在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于点E,F,连接EF(如图①). (1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图②),求PC的长;

(2)探究:将直尺从图②中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止.在这个过程中,请你观察、猜想,并解答: ①tan∠PEF的值是否发生变化?请说明理由;

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②直接写出从开始到停止,线段EF的中点经过的路线长.

6. (2011福建莆田14分)已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

(1)(4分)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;

(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.

①(4分)猜想验证:如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明; ②(6分)拓展运用:如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断若不是.请说明理由。

11是否为定值.若是.请求出该定值;?DMDN

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