第九章 磁场与电磁感应

一、教学基本要求

1.掌握磁场的高斯定理，毕奥－萨伐尔定律，安培环路定理、法拉第电磁感应定律、动生电动势以及感生电动势。

2. 理解磁感应强度、霍尔效应、介质中的磁场感生电场、位移电流、以及麦克斯韦方程组。

3.了解位移电流、电磁场、电磁波谱以及电磁场对生物体的作用。

二、知识要点 1. 磁感应强度

（1） 磁场力和磁感应强度

磁场：在磁铁和电流周围空间存在磁场，磁场对运动电荷有作用力。

?磁感应强度：是描述磁场强弱和方向的物理量。它是一个矢量，用B来表示。

?若电荷q0以速度υ在磁场中运动，设其在某点P处受力最大值为Fm，则该点磁感应强度的大小规定为：

B?Fm q0v

?B的方向的判断可用右手螺旋法则：伸出右手，四指与拇指垂直，先将四指

?的指向与Fm方向相同，再使其四指经小于?的角转向υ的方向，这时拇指的指向

??就是B的方向，在SI制中B的单位为T（特斯拉）。 （2） 磁感应线

磁感应线：为了形象地描述磁场的分布情况，在磁场中画出一系列的曲线，

??使曲线上的每一点的切线方向与该点的磁感应强度B的方向一致，通过与B垂直

?的单位面积的曲线条数与该点B的量值相等。磁感应线是闭合曲线，磁场是涡旋场。

（3） 磁通量

磁通量：通过给定曲面的磁感应线的总数称为通过该曲面的磁通量。

1

通过任一曲面的磁通量为

φ??BcosθdS

s??上式中，式中θ为面元法线方向n与该点处磁感应强度B的方向之间的夹角。 磁通量的单位为Wb（韦伯）。 （4） 磁场中的高斯定理

磁场中的高斯定理：通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量为零，即

??BcosθdS?0

s上式说明磁场是涡旋场。

2. 电流的磁场 （1） 毕奥-萨伐尔定律

电流元矢量：把电流分割成许多小段dl，每一小段中的电流强度为I，我们

?称Idl为电流元。其方向为dl中的电流强度方向。

??毕奥-萨伐尔定律:假设在真空中某一载流导线上的电流元为Idl，r表示由

???电流元到磁场中某一点P的矢径，θ表示r与Idl之间的夹角，则电流元Idl在P点产生的磁感应强度大小为：

dB??0Ιdlsin?4?r2

上式中，?0?4π?10?7T?m?A?1称为真空中的磁导率。

??????dB的方向垂直于Idl与r所构成的平面，且Idl、r和dB三者的方向满足

??右手螺旋法则，即右手四指从电流元Idl方向经小于π的角转向r方向，则伸直

?拇指所指方向即为dB的方向。

矢量表达式为

dB??0Ιdl?r04πr2

??其中r0表示电流元Idl到P点的单位矢径。

（2） 毕奥-萨伐尔定律的应用 ①长直电流的磁场：

2

A2 θ2 ?Idl θ l ?r A1 θ1 r0?dB P

图9-1 长直电流的磁场

B??0I4πr0?cos?1?cos?2?

上式中，r0为考察点到直导线的垂直距离，?1、?2分别为直线首端、末端与r之间的夹角。

若导线为无限长，则?1?0，?2?π，这时

B?μ0I 2πr0②圆电流的磁场： B?2r0?R?μ0IR222?3

2上式中，R为圆电流的半径，r0为考察点到圆心的距离，R为圆电流的半径。 在圆心处，r0?0，这时 B?③直螺线管电流的磁场：

B?1μ0nI?cosβ2?cosβ1? 2μ0I 2R上式中，n为螺线管单位长度上的匝数，β1、β2分别为螺线管首、末端到P点连线与轴线之间的夹角。

无限长或l>>R的螺线管，β1?π,β2?0，这时

B?μ0nI

若螺线管为半无限长，β1?

π,β2?0，这时 23

B?1μ0nI 2（3） 安培环路定理

?安培环路定理：在稳恒磁场中，B矢量沿任意闭合曲线的线积分，等于该闭合曲线所包围的所有电流的代数和的μ0倍，即

sdl?μ?I ?B?dl??BcoθLL0电流的符号规定：若电流的方向与积分回路的绕行方向符合右旋关系，电流为正；反之，电流为负。

3. 磁场对电流的作用 （1） 磁场对运动电荷的作用

洛仑兹力：带电粒子在磁场中运动时所受到的力称为洛仑兹力，矢积形式

F?qv?B?qvBsinθ

?F的方向由右手螺旋定则判定：即伸开右手，使拇指与其余四指垂直，将四

?指伸向速度v的方向，然后沿着小于π的一侧握拳转向B的方向，则伸直的拇指

?所指的方向就是洛仑兹力F的方向。洛仑兹力不做功。 （2） 磁场对载流导线的作用

安培力：磁场对载流导线的作用力称为安培力。 安培力公式：电流元Idl在磁场中所受的力为 dF=IBsiθnd l上式中, θ为B与Idl的夹角，安培力的方向也可由右手螺旋法则确定，即右手的四指由Idl的方向沿小于π的一侧，向B的方向弯曲，则竖直的拇指的指向就是安培力dF的方向。

长为L的载流导线在磁场中所受的力为各个电流元所受安培力的矢量和，即

F??dF??IBsin?dl

LL（3） 均匀磁场对平面载流线圈的作用： 载流线圈在磁场中受到的力矩大小为

siSn? M=NIB或

M=PmBsin?

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