25. 如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、

D在圆周上.

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；

（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.

【解析】本题主要考查建立数学模型的能力，同时考查利用所学知识（本题主要应用导数、基本不等式等知识求最值）分析和解决实际问题的能力． （1）（方法一）连结OC．

设BC?x，矩形ABCD的面积为S．

2则AB?2900?x，其中0?x?30．???????????????2分 22222所以S?2x900?x?2x(900?x)?x?(900?x)?900． ???4分

222当且仅当x?900?x，即x?152时，S取最大值为900cm．

2答：取BC为152cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm．??6分

（方法二）连结OC．设?BOC??，矩形ABCD的面积为S． 则BC?30sin?,OB?30cos?，其中0????2．?????????2分

所以S?ABBC?2OBBC?900sin2?．?????????????4分 所以当sin2??1，即???42时，S取最大值为900cm，此时BC?152 2答：取BC为152cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm．?????6分

（2）（方法一）设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V． 由AB?2900?x?2?r，得r?2所以V??rh?2900?x2?，

1?(900x?x3)，其中0?x?30．???????????10分

由V??1?(900?3x2)?0，得x?103，

因此V?1?(900x?x3)在(0,103)上是增函数，在(103,30)上是减函数．???12分

所以当x?103时，V的最大值为60003?．

答：取BC为103cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003?cm3??14分

（方法二）连结OC．设?BOC??，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V 则圆柱的底面半径为r?2所以V??rh?30cos??，高h?30sin?，其中0????2．

27000?sin?cos2??27000?(sin??sin3?)??????10分

(1?3t2)?0，得t?设t?sin?，则V?27000?(t?t3)．由V??27000?3， 3因此V?27000?(t?t3)在(0,33)上是增函数，在(,1)是减函数????12分 33所以当t?33600033时，即sin??，此时BC?103时，V的最大值为cm 33?答：取BC为103cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为

60003?cm3??14分

26. 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的

半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地． （1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；

（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

（甲）

S T P Q R M B C D P Q A M N N （乙）

【解】（1）如右图，过S作SH⊥RT于H， S△RST=

1SH?RT． ????????2分 2由题意，△RST在月牙形公园里，

RT与圆Q只能相切或相离； ????????4分 RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT≤4，SH≤2，

当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．

1此时，场地面积的最大值为S△RST=?4?2=4（km2）． ????????6分

2

TSPQCN甲DN乙RMBθPQAM（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=?，则有

S四边形ABCD?1?2?2?sin??2?1?2?2?sin(π?2?)?4(sin??sin?cos?)0???π．

222????????8分

令y?sin??sin?cos?，则

y??cos??cos?cos??sin?(?sin?)?2cos2??cos??1． ??????? 11分

??若y??0，cos??1，??π，

23

又??0，π时，y??0，??π，π时，y??0， ???????14分

332函数y?sin??sin?cos?在??π处取到极大值也是最大值，

3故??π时，场地面积取得最大值为33（km2）． ???????16分

3????