25. 如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、
D在圆周上.
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.
【解析】本题主要考查建立数学模型的能力,同时考查利用所学知识(本题主要应用导数、基本不等式等知识求最值)分析和解决实际问题的能力. (1)(方法一)连结OC.
设BC?x,矩形ABCD的面积为S.
2则AB?2900?x,其中0?x?30.???????????????2分 22222所以S?2x900?x?2x(900?x)?x?(900?x)?900. ???4分
222当且仅当x?900?x,即x?152时,S取最大值为900cm.
2答:取BC为152cm时,矩形ABCD的面积最大,最大值为900cm.??6分
(方法二)连结OC.设?BOC??,矩形ABCD的面积为S. 则BC?30sin?,OB?30cos?,其中0????2.?????????2分
所以S?ABBC?2OBBC?900sin2?.?????????????4分 所以当sin2??1,即???42时,S取最大值为900cm,此时BC?152 2答:取BC为152cm时,矩形ABCD的面积最大,最大值为900cm.?????6分
(2)(方法一)设圆柱底面半径为r,高为x,体积为V. 由AB?2900?x?2?r,得r?2所以V??rh?2900?x2?,
1?(900x?x3),其中0?x?30.???????????10分
由V??1?(900?3x2)?0,得x?103,
因此V?1?(900x?x3)在(0,103)上是增函数,在(103,30)上是减函数.???12分
所以当x?103时,V的最大值为60003?.
答:取BC为103cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为60003?cm3??14分
(方法二)连结OC.设?BOC??,圆柱底面半径为r,高为h,体积为V 则圆柱的底面半径为r?2所以V??rh?30cos??,高h?30sin?,其中0????2.
27000?sin?cos2??27000?(sin??sin3?)??????10分
(1?3t2)?0,得t?设t?sin?,则V?27000?(t?t3).由V??27000?3, 3因此V?27000?(t?t3)在(0,33)上是增函数,在(,1)是减函数????12分 33所以当t?33600033时,即sin??,此时BC?103时,V的最大值为cm 33?答:取BC为103cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为
60003?cm3??14分
26. 如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的
半径都是2km,点P在圆Q上,现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地. (1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积;
(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积.
(甲)
S T P Q R M B C D P Q A M N N (乙)
【解】(1)如右图,过S作SH⊥RT于H, S△RST=
1SH?RT. ????????2分 2由题意,△RST在月牙形公园里,
RT与圆Q只能相切或相离; ????????4分 RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形, 则有RT≤4,SH≤2,
当且仅当RT切圆Q于P时(如下左图),上面两个不等式中等号同时成立.
1此时,场地面积的最大值为S△RST=?4?2=4(km2). ????????6分
2
TSPQCN甲DN乙RMBθPQAM(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形, AD必须切圆Q于P,再设∠BPA=?,则有
S四边形ABCD?1?2?2?sin??2?1?2?2?sin(π?2?)?4(sin??sin?cos?)0???π.
222????????8分
令y?sin??sin?cos?,则
y??cos??cos?cos??sin?(?sin?)?2cos2??cos??1. ??????? 11分
??若y??0,cos??1,??π,
23
又??0,π时,y??0,??π,π时,y??0, ???????14分
332函数y?sin??sin?cos?在??π处取到极大值也是最大值,
3故??π时,场地面积取得最大值为33(km2). ???????16分
3????