徐州一中高三最后冲刺应用题50练 - 图文

27. 如图,某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段FBC,该曲线段是函数

y?Asin(?x?2π。赛道的中间部分为长3) ?A?0,??0?,x???4,0?时的图象,且图象的最高点为B(-1,2)

3千米的直线跑道CD,且CD// EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE.

(1)求?的值和?DOE的大小;

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”,矩

形的一边在道路EF上,一个顶点在半径OD上,另外一个顶点P在

OE??,圆弧DE上,且?P求当“矩形草坪”的面积取最大值时?的

值.

解:(1)由条件,得A?2, ∵T?

T?3. ??????????????????2分 42π?,∴??π.???????????????4分 6π2π ∴ 曲线段FBC的解析式为y?2sin(x?).

63ππ 当x=0时,y?OC?3.又CD=3,∴?COD?,即?DOE?.??7分

44

(2)由(1),可知OD?6.

又易知当“矩形草坪”的面积最大时,点P在弧DE上,故OP?6.?????8分

π设?POE??,0??≤,“矩形草坪”的面积为

4 S?6sin??6cos??6sin??6?sin?cos??sin2??

?111π =6(sin2??cos2??)?32sin(2??)?3. ???????13分

2224ππππ∵0??≤,故当2???时,?=时,S取得最大值. ??15分

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28. 为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建 造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000平方米,每平方米的建筑 费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) .经测算,若每幢楼为 5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. 购地费用+所有建筑费用

(每平方米平均综合费用=).

所有建筑面积

(1)求k的值;

(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米 的平均综合费用为多少元?

【解】(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米,所有建筑费用为 [(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10,所以,????3分 16 000 000+[(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10

1 270=,

10×1 000×5解之得:k=50.????????????????????6分

(2)设小区每幢为n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为f (n),由题设可知 16 000 000+[(50 +800)+(100 +800)+?+(50n +800)]×1 000×10

f (n) =

10×1 000×n1 600

=+25n+825≥21 600×25+825=1 225

n

(元). ?????10分

1 600

当且仅当=25n,即n=8时等号成立.?????????12分

n

答:该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1 225元. ???????????14分

29. 如图,某新建小区有一片边长为1(单位:百米)的正方形剩余地块ABCD,中间部分MNK是一片池塘,池塘

的边缘曲线段MN为函数y?212(?x?)的图象,另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。为了美化该地9x33块,计划修一条穿越该地块的直路l(宽度不计),直路l与曲线段MN相切(切点记为P),并把该地块分为两部分。记点P到边AD距离为t,f(t)表示该地块在直路l左下部分的面积。 (1)求f(t)的解析式; (2)求面积S?f(t)的最大值。

(1)因为y?22,所以y???2,

9x9x2224所以过点P的切线方程为y???2(x?t),即y??2x?,??2分

9t9t9t9t4令x?0,得y?,令y?0,得x?2t.

9t4所以切线与x轴交点E(2t,0),切线与y轴交点F(0,).??????4分

9t??2t≤1,?41?4≤1,即≤t≤时,切线左下方的区域为一直角三角形, ①当?92?9t2?1≤t≤,?3?3所以f(t)?144?2t??.??????????????????6分 29t9??2t?1,?12?4≤1, 即?t≤时,切线左下方的区域为一直角梯形, ②当?23?9t2?1≤t≤,?3?3144t?24t?1,?????????????????8分 f(t)?(?)?1?29t9t29t2??2t≤1,?14?4?1,即≤t?时,切线左下方的区域为一直角梯形, ③当?39?9t2?1≤t≤,?3?314t?9t29?2t)?1?2t?t2. 所以f(t)?(224

9214?2t?t,≤t?,?439?1?44,≤t≤,????????????????10分 综上f(t)??2?992?4t?11,?t≤.?9t223?(2)当≤t?1499444时, f(t)?2t?t2 ??(t?)2??,????????12分

39449994t?11144122当?t≤时, f(t)???(?2)??,?????????14分

9t29t99234所以Smax?.?????????????????????????16分

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