27. 如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数
y?Asin(?x?2π。赛道的中间部分为长3) ?A?0,??0?，x???4,0?时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）
3千米的直线跑道CD，且CD// EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
（1）求?的值和?DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩
形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在
OE??，圆弧DE上，且?P求当“矩形草坪”的面积取最大值时?的
值．
解：（1）由条件，得A?2， ∵T?
T?3． ??????????????????2分 42π?，∴??π．???????????????4分 6π2π ∴ 曲线段FBC的解析式为y?2sin(x?)．
63ππ 当x=0时，y?OC?3．又CD=3，∴?COD?，即?DOE?．??7分
44
（2）由（1），可知OD?6．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故OP?6．?????8分
π设?POE??，0??≤，“矩形草坪”的面积为
4 S?6sin??6cos??6sin??6?sin?cos??sin2??
?111π =6(sin2??cos2??)?32sin(2??)?3． ???????13分
2224ππππ∵0??≤，故当2???时，?=时，S取得最大值． ??15分
4428
28. 为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建 造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑 费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ．经测算，若每幢楼为 5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. 购地费用+所有建筑费用
(每平方米平均综合费用＝)．
所有建筑面积
（1）求k的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米 的平均综合费用为多少元？
【解】（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为 ［(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×10，所以，????3分 16 000 000+［(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×10
1 270＝，
10×1 000×5解之得：k＝50．????????????????????6分
（2）设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f (n)，由题设可知 16 000 000+［(50 +800)+(100 +800)+?+(50n +800)］×1 000×10
f (n) ＝
10×1 000×n1 600
＝+25n+825≥21 600×25+825＝1 225
n
(元). ?????10分
1 600
当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立．?????????12分
n
答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元． ???????????14分
29. 如图，某新建小区有一片边长为1（单位：百米）的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘
的边缘曲线段MN为函数y?212(?x?)的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。为了美化该地9x33块，计划修一条穿越该地块的直路l（宽度不计），直路l与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分。记点P到边AD距离为t，f(t)表示该地块在直路l左下部分的面积。 （1）求f(t)的解析式； （2）求面积S?f(t)的最大值。
（1）因为y?22，所以y???2，
9x9x2224所以过点P的切线方程为y???2(x?t)，即y??2x?，??2分
9t9t9t9t4令x?0，得y?，令y?0，得x?2t.
9t4所以切线与x轴交点E(2t,0)，切线与y轴交点F(0,).??????4分
9t??2t≤1,?41?4≤1,即≤t≤时，切线左下方的区域为一直角三角形， ①当?92?9t2?1≤t≤,?3?3所以f(t)?144?2t??.??????????????????6分 29t9??2t?1,?12?4≤1, 即?t≤时，切线左下方的区域为一直角梯形， ②当?23?9t2?1≤t≤,?3?3144t?24t?1，?????????????????8分 f(t)?(?)?1?29t9t29t2??2t≤1,?14?4?1,即≤t?时,切线左下方的区域为一直角梯形, ③当?39?9t2?1≤t≤,?3?314t?9t29?2t)?1?2t?t2. 所以f(t)?(224
9214?2t?t,≤t?,?439?1?44,≤t≤,????????????????10分 综上f(t)??2?992?4t?11,?t≤.?9t223?(2)当≤t?1499444时, f(t)?2t?t2 ??(t?)2??，????????12分
39449994t?11144122当?t≤时, f(t)???(?2)??，?????????14分
9t29t99234所以Smax?．?????????????????????????16分
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