练习1 绪论及基本概念
1-1 是非题
（1）材料力学是研究构件承载能力的一门学科。（ 是 ）
（2）可变形固体的变形必须满足几何相容条件，即变形后的固体既不可以引起“空隙”，也不产生“挤入”现象。 （是 ）
（3）构件在载荷作用下发生的变形，包括构件尺寸的改变和形状的改变。（ 是 ） （4）应力是内力分布集度。（是 ）
（5）材料力学主要研究构件弹性范围内的小变形问题。（是 ） （6）若物体产生位移，则必定同时产生变形。 （非 ） （7）各向同性假设认为，材料沿各个方向具有相同的变形。（F）
（8）均匀性假设认为，材料内部各点的力学性质是相同的。 （是）
（9）根据连续性假设，杆件截面上的内力是连续分布的，分布内力系的合力必定是一个力。（非） （10）因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。（非 ）
1-2 填空题
（1）根据材料的主要性质对材料作如下三个基本假设：连续性假设 、均匀性假设 、 各向同性假设 。
（2）工程中的 强度 ，是指构件抵抗破坏的能力； 刚度 ，是指构件抵抗变形的能力。
（3）保证构件正常或安全工作的基本要求包括 强度 ， 刚度 ，和 稳定性 三个方面。
（4）图示构件中，杆1发生 拉伸 变形，杆2发生 压缩 变形， 杆3发生 弯曲 变形。
（5）认为固体在其整个几何空间内无间隙地充满了物质，这样的假设称为 连续性假设 。根据这一假设构件的应力，应变和位移就可以用坐标的 连续 函数来表示。
（6）图示结构中，杆1发生 弯曲 变形，构件2
发生 剪切 变形，杆件3发生 弯曲与轴向压缩组合。 变形。
（7）解除外力后，能完全消失的变形称为 弹性变形 ，不能消失而残余的的那部分变形称为 塑性变形 。
（8）根据 小变形 条件，可以认为构件的变形远 小于 其原始尺寸。
1
F12312F31-3 选择题
（1）材料力学中对构件的受力和变形等问题可用连续函数来描述；通过试件所测得的材料的力学性能，可用于构件内部的任何部位。这是因为对可变形固体采用了（ A ）假设。 （A）连续均匀性； （B）各向同性； （C）小变形； （D）平面。
（2）研究构件或其一部分的平衡问题时，采用构件变形前的原始尺寸进行计算，这是因为采用了（ C ）假设。
（A）平面； （B）连续均匀性； （C）小变形； （D）各向同性。 （3）下列材料中，不属于各向同性材料的有（ D ）
（A）钢材； （B）塑料； （C）浇铸很好的混凝土； （D）松木。 （4）关于下列结论：
1）同一截面上正应力 ? 与切应力 ? 必相互垂直。 2）同一截面上各点的正应力 ? 必定大小相等，方向相同。 3）同一截面上各点的切应力 ? 必相互平行。 现有四种答案，正确答案是（ A ）
（A）1对； （B）1、2对； （C）1、3对； （D）2、3对。 （5）材料力学中的内力是指（D ） （A）构件内部的力；
（B）构件内部各质点间固有的相互作用力；
（C）构件内部一部分与另一部分之间的相互作用力；
（D）因外力作用，而引起构件内部一部分对另一部分作用力的改变量 （6）以下结论中正确的是（ B ）
（A）杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和； （B）应力是内力的集度； （C）杆件某截面上的应力是该截面上内力的平均值； （D）内力必大于应力。 （7）下列结论中是正确的是（ B ）
（A）若物体产生位移，则必定同时产生变形； （B）若物体各点均无位移，则该物体必定无变形； （C）若物体无变形，则必定物体内各点均无位移； （D）若物体产生变形，则必定物体内各点均有位移。
（8）关于确定截面内力的截面法的适用范围，有下列说法正确的是（ D ）
（A）等截面直杆； （B）直杆承受基本变形；
（C）不论基本变形还是组合变形，但限于直杆的横截面；
（D）不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
2
练习2 轴力与轴力图 2-1、等直杆受力如图示，求杆内最大轴力FNmax= 50kN 和最小轴力FNmin= -5kN 。 2-2 试求图示拉杆截面1-1，2-2，3-3上的轴力，并作出轴力图。 40kN55kN25kN20kN解：FN1??2F；FN2?F；FN3??2F。 2-3、试作图示各受力杆的轴力图。 解： 3F2F F lll FNF xF 4F2FN x aFFN a F aq=F/a4F FN 1233F3F2F1ab2c3FNFOx2F2F60kN80kN60kN40kNxFN/kN6040x20FxFlFFlx2Fl2FFN2F3 FF2-4、已知q?10 kNm，试绘出图示杆件的轴力图 5kN15kNq5kN1.5m1mFN/kN1555x202-5、如图示受力杆，已知杆件的质量密度为8?103 kgm3，F?600 N，考虑杆件自重，试作杆件的轴力图。（取g?10m/s2） x600 点，并标出力的值。 150kN/m 1mm1100kNF1001m100FN/N2002-6、图(a)所示直杆受轴向力作用，已知轴力图如图(b)所示。试绘出杆(a)所受的外力的方向和作用x1001m20(a)354530(kN)2mFN/kN200FN/kN(b)15x(b)(a)kN200 2030 4 练习3 轴向拉压杆的应力
3-1 是非题
（1）拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力存在。（非）
（2）任何轴向受拉杆件中，横截面上的最大正应力都发生在轴力最大的截面上。 (非 ) （3）构件内力的大小不但与外力大小有关，还与材料的截面形状有关。(非 ) （4）杆件的某横截面上，若各点的正应力均为零，则该截面上的轴力为零。(是 )
（5）两相同尺寸的等直杆CD和C?D?，如图示。杆CD受集中力F作用（不计自重），杆C?D?受自重作用，则杆CD中，应力的大小与杆件的横截面面积有关，杆C?D?中，应力的大小与杆件的横截面面积无关。 ( 是 )
DDCFC?FlFABFCD 第（5）题图 第（6）题图 （6）图示受力杆件，若AB，BC，CD三段的横截面面积分别为A，2A，3A，则各段横截面的轴力不相等，各段横截面上的正应力也不相等。 (非 )
3-2 选择题
（1）等直杆受力如图所示，其横截面面积A?100 mm2，问给定横截面m-m上正应力的四个答案中正确的是（ D ）
(A) 50MPa（压应力）； (B) 40MPa（压应力）； (C) 90MPa（压应力）； (D) 90MPa（拉应力）。
（2）等截面直杆受轴向拉力F作用发生拉伸变形。已知横截面面积为A，以下给出的横截面上的正应力和45?斜截面上的正应力的四种结果，正确的是（ A ） (A) F，F； (B) F，F； 2AAA2A(C) F，F； (D) F，2F。 A2A2AA
（3）如图示变截面杆AD，分别在截面A，B，C受集中力F作用。设杆件的AB段，BC段和CD段的横截面面积分别为A，2A，3A，横截面上的轴力和应力分别为FN1，?AB，FN2，?BC，FN3，?CD，试问下列结论中正确的是（ D ）。 (A) FN1?FN2?FN3，?AB＝?BC＝?CD (B) FN1?FN2?FN3，?AB??BC??CD (C) FN1?FN2?FN3，?AB??BC??CD (D) FN1?FN2?FN3，?AB＝?BC＝?CD
5
FAFBFCD5kNmm4kN13kNF45?F（4）边长分别为a1?100 mm和a2?50 mm的两正方形截面杆，其两端作用着相同的轴向载荷，两杆横截面上正应力比为（ C ）。
（A）1∶2； （B）2∶1； （C）1∶4； （D）4∶1
3-3、图示轴向拉压杆的横截面面积A?1000 mm2，载荷F?10 kN，纵向分布载荷的集度q?10 kNm，a?1 m。试求截面1-1的正应力?和杆中的最大正应力?max。
解：杆的轴力如图，则截面1-1的正应力
1Faq?1?1?FN1F??5 MPa A2Aa/21a/2最大正应力?max?
F?10 MPa AFNaF2ax
3-4、图示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷F作用，已知：截面尺寸b?20 mm，F?14 kN，b0?10 mm，
??4 mm。试计算截面1-1和截面2-2上的正应力。
解：截面1-1上的正应力
F1?b212F?1?1FF?N1??175 MPa A1b?b01-12-2截面2-2上的正应力
?2?2
F??350 MPa ?b-b0??3-6、等截面杆的横截面面积为A=5cm2，受轴向拉力F作用。如图示杆沿斜截面被截开，该截面上
的正应力??=120MPa，，切应力??=40MPa，试求F力的大小和斜截面的角度?。
解：由拉压时斜截面?上的应力计算公式
????cos2????sin?cos?
，?n?????则tan?????1，??18?26?
??3Fcos2? ????cos??A2轴向拉力F???A?66.67 kN
cos2?
F6
练习4 轴向拉压杆的变形、应变能
4-1 选择题
（1）阶梯形杆的横截面面积分别为A1=2A，A2=A，材料的弹性模量为E。杆件受轴向拉力P作用时，最大的伸长线应变是（ D）
（A）??Pl?Pl?Pl； （B）??P?P
EA12EAEA12EA2EA（C）
（2）变截面钢杆受力如图所示。已知P1=20kN，P2=40kN， l1=300mm，l2=500mm，横截面面积A1=100mm2，A2=200mm2， 弹性模量E=200GPa。
1杆件的总变形量是（ C ） ○
??PP3P； （D）??P?P
??EA2EAEA1EA22EAP2l220?103?30040?103?5001l1 （A）?l?P ????0.8mm(伸长）33EA1EA2200?10?100200?10?200Pl20?103?30040?103?500 （B）?l?P 1l1?22????0.2mm(缩短）33EA1EA2200?10?100200?10?200?P2?P20?103?30020?103?500 （C）?l?P 1l11?l2????0.05mm(伸长）33EAEA2200?10?100200?10?2001?P2?P20?103?30020?103?500（D）?l?P 1l11?l2????0.55mm(伸长）33EA1EA2200?10?100200?10?2002由上面解题过程知AB段的缩短变形?l2= -0.25mm，BC段的伸长变形?l1= 0.3mm，则C截面相对○
B截面的位移是（B）
A）?BC??l1??l2?0.55mm； （B）?BC??l1?0.3mm???? （C）?BC??l1??l2?0.05mm； （D）?BC?0
3C截面的位移是（C ） ○
（A）?C??l1?0.3mm； （B）?C??l1??l2?0.55mm??? （C）?C??l1??l2?0.05mm???； （D）?C?0
（3）图a、b所示两杆的材料、横截面面积和受力分别相同，长度l1? l2。下列各量中相同的有 （A，C，D ），不同的有（ B，E ）。 （A）正应力； （B）纵向变形； （C）纵向线应变； （D）横向线应变； （E）横截面上ab线段的横向变形
7
（4）图（a）所示两杆桁架在载荷P作用时，两杆的伸长量分别为?l1和?l2，并设?l1??l2，则B节点的铅垂位移是（ C）
（A）?y??l1cos???l2cos?；
（B）用平行四边形法则求得BB?后，?y?BB?cos?（图b）； （C）如图（c）所示，作出对应垂线的交点B??后，?y?BB??cos? （D）???l1??l2
ycos?cos?
（5）阶梯状变截面直杆受轴向压力F作用，其应变能V? 应为（ A ） （A）V??3F2l/(4EA)； （B）V??F2l/(4EA)； （C）V???3F2l/(4EA)； （D）V???F2l/(4EA)。
（6）图示三脚架中，设1、2杆的应变能分别为V1和V2，下列求节点B铅垂位移的方程中，正确的为（ A）
（A）1P??V?V； （B）1P??V?V；
Bx12By1222 （C）P?By?V1?V2； （D）1P?By?V1。
2EAlEAlF2
4-2、如图示，钢质圆杆的直径d?10 mm，F?5.0 kN，弹性模量E?210 GPa。试求杆内最大应变和杆的总伸长。
解：杆的轴力如图
A3F0.1m0.1mBC2FF0.1mdD?maxF2F??Nmax??6.06?10?4EEAEA
FN?max?l??lAB??lBC??lCD?2Fl?FlFl2Fl????6.06?10?5 mAEAEAEAE2FFABFCDx
8
练习5 材料拉伸和压缩时的力学性能
选择题
1、以下关于材料力学一般性能的结论中正确的是（ A）
（A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力； （B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （C）塑性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （D）塑性材料的抗拉能力高于其抗剪能力。 2、材料的主要强度指标是（ D ）
（A）?p 和?s; （B）?s 和ψ； （C）?b 和? ; D）?s 和?b。
3、铸铁拉伸试验破坏由什么应力造成？破坏断面在什么方向？以下结论中正确的是（ C ） （A）切应力造成，破坏断面在与轴线夹角45o
方向； （B）切应力造成，破坏断面在横截面； （C）正应力造成，破坏断面在横截面；
（D）正应力造成，破坏断面在与轴线夹角45o方向。
4、对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以?0.2 表示屈服极限。其定义正确的是（ C ） （A）产生2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限； （B）产生0.02%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限； （C）产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限； （D）产生0.2%的应变所对应的应力值作为屈服极限。
5、工程上通常以伸长率区分材料，对于脆性材料有四种结论，正确的是（ A ） （A）? ?5% ; （B）? ? 0.5% ; （C）? ? 2% ; （D）? ? 0.2 % 。 6、进入屈服阶段以后，材料发生一定变形。则以下结论正确的是（ D ） （A）弹性； （B）线弹性； （C）塑性； （D）弹塑性。 7、关于材料的塑性指标有以下结论，正确的是（ C ）
（A）?s和?； （B）?s和ψ； （C）?和ψ； （D）?s、?和ψ。 8、伸长率公式??l1?l?100%中的l1是（ D ）
l（A）断裂时试件的长度； （B）断裂后试件的长度；
（C）断裂时试验段（标距）的长度； （D）断裂后试验段（标距）的长度。 9、关于材料的冷作硬化现象有以下四种结论，正确的是（C ） （A）由于温度降低，其比例极限提高，塑性降低； （B）由于温度降低，其弹性模量提高，泊松比减小； （C）经过塑性变形，其比例极限提高，塑性降低； （D）经过塑性变形，其弹性模量不变，比例极限降低。
9
填空题
1、低碳钢试样的应力—应变曲线可以大致分为 4 个阶段。阶段Ⅰ 弹性 阶段；阶段Ⅱ 屈服 阶段；阶段Ⅲ 强化 阶段；阶段Ⅳ 颈缩 阶段。
2、在对试样施加轴向拉力，使之达到强化阶段，然后卸载至零，再加载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大载荷将增大。这一现象称为材料的 冷作硬化 。
3、铸铁在压缩时 强度 极限比在拉伸时要大得多，因此宜用作受 压 构件。
4、一拉伸试样，试验前直径 d?10 mm ,长度 l?50 mm ,断裂后颈缩处直径d1?6.2 mm ,长度 拉断时载荷F?45 kN 。试求材料的强度极限?b = 573MPa ,伸长率?= 16.6% l1?58.3 mm 。和断面收缩率ψ= 61.6% 。
5、一钢试样, E?200 GPa,比例极限?p?200 MPa ,直径d?10 mm ,在标距l?100 mm 长度上测得伸长量试求该试件沿轴线方向的线应变?= 0.5?10-3 ，所受拉力F= 7.85kN ，横截?l?0.05 mm 。面上的应力?= 100MPa 。
6、设图示直杆材料为低碳钢，弹性模量E?200 GPa，杆的横截面面积为A?5 cm2，=?l?Fl?1.5 mm，残余变形=?lp??l??le?2.5 mm。 eEAl=1m杆长l?1 m，加轴向拉力F?150 kN，测得伸长?l?4 mm。卸载后杆的弹性变形
F=150kN 7、低碳钢和铸铁试件在拉伸和压缩破坏时的情形如图所示。其中图（a）为 低碳钢拉伸 ，图（b）
为 铸铁拉伸 ，图（c）为 铸铁压缩 ，图（d）为 低碳钢压缩 。
第7题图 第8题图
8、三种材料的应力应变曲线分别如图中a、b、c所示。其中强度最高的是 a ，弹性模量最大的是 b ，塑性最好的是 c 。
9、低碳钢受拉伸时，当正应力小于 比例极限?P 时，材料在线弹性范围内工作；正应力达到 屈服极限?s ，意味着材料发生破坏。铸铁拉伸时，正应力达到 强度极限?b ，材料发生破坏。
10
练习6 拉压杆强度计算
6-1 选择题
（1）钢制圆截面阶梯形直杆的受力和轴力图如下，杆的直径d1?d2。对该杆进行强度校核时，应取（ A ）进行计算。 （A）AB、BC段； （B）AB、BC、CD段； （C）AB、CD段； （D）BC、CD段。
（2） 图示结构中，1，2两杆的横截面面积分别为A1=400mm2，A2=300mm2，许用应力均为[?]=160MPa，AB杆为刚性杆。当P力距A支座为l/3时，求得两杆的轴力分别为FN1=2P/3，FN2=P/3。该结构的许可载荷为（ B ） （A）[P]= [?]A1+[?]A2=112kN； （B）[P]= 3[?]A1/2=96 kN； （C）[P]= 3[?]A2=144kN； （D）[P]= 96+144=240 kN。
6-2、图示受力结构中，AB为直径d?10 mm的圆截面钢杆，从杆AB的强度考虑，此结构的许用载荷?F??6.28 kN。若杆AB的强度安全因数n?1.5，试求此材料的屈服极限。 解：分析节点B受力
由平衡条件得F1sin30??F，F1?2F
???1πd2?2?F?
4F130?F2ABFC30?BF8?F?n?????s，屈服极限 ?s?2?239.88 MPa?240 MPa
nπd
6-3、图示结构中，AB为圆截面杆。已知其材料的许用应力为????160 MPa，铅垂载荷F?20 kN，试选择杆AB的直径。 解：刚杆CD受力如图
AdC45??MC?0，FN???42a?F?2a?0，FN?22F 2B刚性杆DaFaFNCFCxFCy45?A≥FN，1πd2≥22F
???杆AB的直径
d
2
Ba≥82F， π???DFad≥0.02122 m?21.22 mm
11
6-4、在图示结构中，钢索BC由一组直径d?2 mm的钢丝组成。若钢丝的许用应力????160 MPa，梁AC自重P?3 kN，小车承载F?10 kN，且小车可以在梁上自由移动，试求钢索至少需几根钢丝组成？
4mB解：小车移至点C时钢索受到拉力达到最大，受力如图。
?M3mCAFPA?0，2P?4F?4FNsin??0，sin??3
5FN?19.17 kN
钢索所需根数 n≥
4FN?38 2πd???
FAxAFAyFN?PCF6-5、设圆截面钢杆受轴向拉力F?100 kN，弹性模量E?200 GPa。若要求杆内的应力不得超过120 MPa，应变不得超过12000，试求圆杆的最小直径。
解：应力应满足??F?4F?120 MPa 可得d?11?32.58 mm
1Aπd23π10应变应满足??FEA?104F1 可得
d2?2?10?35.7 mm ?2π2000Eπd所以d?d2?35.7 mm
6-6、水平刚性杆CDE置于铰支座D上并与木柱AB铰接于C，已知木立柱AB的横截面面积A?100 cm2，许用拉应力?????7 MPa，许用压应力?????9 MPa，弹性模量E?10 GPa，长度尺寸
和所受载荷如图所示，其中载荷F1?70 kN，载荷F2?40 kN。试： （1）校核木立柱AB的强度； （2）求木立柱截面A的铅垂位移ΔA。 解：（1）点C所受力
F10.4mF10.4CAF2DE0.5B1.5（ 长度单位:m）FC?3F2?120 kN
木立柱AB中各段的应力为
?F1?7MPa＜???，安全 A?FC?F1?5MPa＜???，安全 AC1.2mFC1.2?NAC??NBC?FB（2）木立柱截面A的铅垂位移为
ΔA?
1?FNBClBC?FNAClAC??0.32 mm EA12
练习7 拉压超静定
7-1 选择题
（1）结构由于温度变化，则（ B ）
(A) 静定结构中将引起应力，超静定结构中也将引起应力； (B) 静定结构中将引起变形，超静定结构中将引起应力和变形； (C) 无论静定结构或超静定结构，都将引起应力和变形； (D) 静定结构中将引起应力和变形，超静定结构中将引起应力。
（2）如图所示，杆AB和CD均为刚性杆，则此结构为（ A ）结构。
（A）静定。 （B）一次超静定。 （C）二次超静定。 （D）三次超静定。
（3）如图所示，杆AB为刚性杆，杆CD由于制造不准缺短了?，此结构安装后，可按 （ C ）问题求解各杆的内力 （A） 静定。 （B）一次超静定。 （C）二次超静定。 （D）三次超静定。
ADCaAFCaaaDB?BAaEA1CaΔ7-2 填空题 （1）已知变截面杆受力如图示，试问当Fa?EA1?＞Δ时，补充方程式 为?F?FB?a?FBa?Δ EA1EA2
（2）图示杆1和杆2的材料和长度都相同，但横截面面积A1＞A2。若两杆温度都下降?T，则两杆轴力之间的关系是FN1 ＞ FN2，正应力之间的关系是?1 = ?2。（填入符号＜，＝，＞）
FEA2B127-3、如图所示受一对轴向力F作用的杆件。已知杆件的横截面面积为A，材料的弹性模量为E。试求杆件的约束力。 解：平衡方程FA?FB?2F （1） 变形协调方程?FAa?(FA?F)a?FBa?0 EAEAEAAFaCFaDaBAFFAFNCFDBFBFxFB?F （2） 代入式（1）中得 ， FB?F（拉） FA?F （压）
F13 7-4、杆1比预定长度l?1 m短一小量??0.1 mm，设杆1和杆2的横截面面积之比为A1?2A2。将杆1连到AB刚性杆上后，在B端加力F?120kN，已知杆1和杆2的许用应力为????160 MPa， 弹性模量E?200 GPa，试设计两杆截面。 解：
?MA?0，FN1a?2FN2a?3Fa （1）
lAl1变形协调条件 ?l2?2(?l1??) 由物理条件得 FN2lEA2?2(FNl （2）
??)EA1?Baa2FN1aF解（1）（2）得 F?F?2EA1?，F?F?EA1?
N1N23l3l由??FN1?F?2E? ≤[?]
1A1A13l得A1?818 mm2,A2?409 mm2 由??FN2?F?EA1?≤[?]
2AFN2FB??l1?l2A2A23lA2得A2?692 mm2,A1?1384 mm2 故应选A2?692 mm2,A1?1384 mm2
B?7-5、图示结构中，已知各杆的拉压刚度EA和线膨胀系数?l均相同，铅直杆的长度为l。若杆3的温度上升?T，试求各杆的内力。 解：考察点B的平衡，其平衡方程为
FN1?FN2 (1)
136060??2lBFN1?FN3?0 (2)
由变形协调条件?l1??l3cos60??1?l3
2得
FN1l11Fl?(?ll?T?N3) (其中l1?2l) (3) EA2EA联立解方程(1)~(3)得
FN1?FN2?
?l?TEA5 (拉)， FN3??l?TEA5 (压)
FN3FN160?60?1FN23B?l12?l3?l260?60?B14
练习8 剪切和挤压实用计算
8-1 选择题
（1）在连接件上，剪切面和挤压面为（ B ）
（A）分别垂直、平行于外力方向； （B）分别平行、垂直于外力方向； （C）分别平行于外力方向； （D）分别垂直于外力方向。
（2）连接件切应力的实用计算是（ A ）
（A）以切应力在剪切面上均匀分布为基础的； （B）剪切面为圆形或方形； （C）以切应力不超过材料的剪切比例极限为基础的； （D）剪切面积大于挤压面积。
（3）在连接件剪切强度的实用计算中，切应力许用应力[?]是由（ C ）
（A）精确计算得到的； （B）拉伸试验得到的； （C）剪切试验得到的； （D）扭转试验得到的。 （4）图示铆钉连接，铆钉的挤压应力?bs为（ B ）
（A）2F； （B）F；
π d22d ?（C）F ； （D）4F 。
F?d?FbFF2b ?π d2
（5）图示夹剪中A和B的直径均为d，则受力系统中的最大剪应力为（ B ）
（A）
4bFP4(a?b)FP; （B）; 22?ad?ad FP b a
B A FP （C）
8bFP8(a?b)FP; （D）. 22?ad?ad（6）钢板厚度为t，剪切屈服极限?s，剪切强度极限?b。若用冲床在钢板上冲出直径为d 的圆孔，则冲头的冲压力应不小于（ C ）。
（A）?dt?s ； （B）1?d2?
s4（C）?dt?b ； （D）1?d2?
4b8-2 填空题
（1） 铆接头的连接板厚度为?，铆钉直径为d。则铆钉切应力??2F，挤压应力?bs为 ??F。
bs2π d ? d
F??dF/2F/2?15
（2）矩形截面木拉杆连接如图，这时接头处的切应力??F；挤压应力??F。
bsblab
bFhlalF键齿轮Me轴Mehbl 第（2）题图 第（3）题图
（3）齿轮和轴用平键连接如图所示，键的受剪面积As= bl ，挤压面积Abs=hl。
2（4）图示厚度为? 的基础上有一方柱，柱受轴向压力F作用，则基础的剪切面面积为 4a? ，挤压面面积为 a2 。
aFF正方柱d??D 第（4）题图 第（5）题图
（5）图示直径为d的圆柱放在直径为D=3d，厚度为? 的圆形基座上，地基对基座的支反力为均匀
22分布，圆柱承受轴向压力F，则基座剪切面的剪力F?4F?π ?D?d??8F
S49π D2（6）判断剪切面和挤压面时应注意的是：剪切面是构件的两部分有发生 相互错动 趋势的平面；挤压面是构件 相互压紧部分 的表面。
8-3、图示销钉连接。已知：联接器壁厚??8 mm，轴向拉力F?15 kN，销钉许用切应力
[?]?20MPa，许用挤压应力[?bs]?70MPa。试求销钉的直径d。 解：剪切：F?F,??FS?2F?[? ] , d?21.9 mm
S22ASπ d?F2?挤压：?bsF??[?bs] , d?13.4 mm 2d??F?d取d?22 mm。
8-4、钢板用销钉固连于墙上，且受拉力F作用。已知销钉直径d?22 mm，板的尺寸为8?100mm2，板和销钉的许用拉应力[?]?160 MPa，许用切应力[?]?100 MPa，许用挤压应力[?bs]?280MPa,试求许用拉力[F]。
解：剪切：F?AS [?]?38 kN 挤压：F?Abs[?bs]?49.3 kN 板拉伸：F?A [?]?99.8 kN 取[F]?38 kN。
8100dF16
自测题一
一、 是非题
（1）等直杆受轴向拉压时，任何方向都不会发生切应变。( 非 )
（2）若两等直杆的横截面面积A，长度l相同，两端所受的轴向拉力F也相同，但材料不同，则两杆的应力?相同，伸长?l不同。(是 )
（3）钢筋混凝土柱中，钢筋与混凝土柱高度相同，受压后，钢筋与混凝土柱的压缩量也相同，所以二者所受的内力也相同。( 非 )
（4）一圆截面直杆两端承受拉力作用。若将其直径增加一倍，则杆的拉压刚度将是原来的4倍。(是) （5）一空心圆截面直杆，其内、外径之比为0.5，两端承受拉力作用。如将杆的内、外径增加一倍，则其拉压刚度将是原来的2倍。( 非 ) （6）材料的延伸率与试件的尺寸有关。（是 ）
（7）低碳钢拉伸试样直到出现颈缩之前，其横向变形都是均匀收缩的。（是 ） （8）铸铁压缩试验时，断口为与轴线约成45的螺旋面。（非 ）
o
二、选择题
1、关于下列结论：
1）应变分为线应变? 和切应变?； 2）线应变为无量纲量；
3）若物体的各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零； 4）若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。 现有四种答案，正确的是（ C ）。
（A）1、2对； （B）3、4对； （C）1、2、3对； （D）全对。
2、等截面直杆受轴向拉力F作用而产生弹性伸长，已知杆长为l，横截面面积为A，材料弹性模量为E，泊松比为?。根据拉伸理论，影响该杆横截面上应力的因素是（ D ）
(A) E，?，F； (B) l，A，F； (C) l，A，E，?，F； (D) A，F。 3、两杆几何尺寸相同，轴向拉力F相同，材料不同，它们的应力和变形可能是（ C ）
(A) 应力?和变形?l都相同； (B) 应力?不同，变形?l相同； (C) 应力?相同，变形?l不同； (D) 应力?不同，变形?l不同。 4、图示等直杆，杆长为3a，材料的拉压刚度为EA，受力如图示。
问杆中点横截面的铅垂位移是（ B ）
(A) 0； (B) Fa； (C) 2Fa； (D) 3Fa。
EAEAEA
3a/2CaD2FAaBF2Fa5、钢材经过冷作硬化处理后，基本不变的量有以下四种结论，正确的是（ A ） （A）弹性模量； （B）比例极限； （C）伸长率； （D）断面收缩率。
17
6、长度和横截面面积均相同的两杆，一为钢杆，另一为铝杆，在相同的轴向拉力作用下，两杆的应力与变形有四种情况，试问正确的是（ A ）
(A) 铝杆的应力和钢杆相同，变形大于钢杆； (B) 铝杆的应力和钢杆相同，变形小于钢杆； (C) 铝杆的应力和变形均大于钢杆； (D) 铝杆的应力和变形均小于钢杆。
7、由同一种材料组成的变截面杆的横截面面积分别为2A和A，受力如图示，弹性模量为E。下列结论中正确的是（ B ）
(A)截面D位移为0； (B)截面D位移为Fl；
2EA(C)截面C位移为Fl； (D)截面D位移为Fl。
2EAEAB2A2FlClADF8、脆性材料的强度指标是（ C ）
（A）?p 和?s; （B）?s和ψ； （C）?b ; （D）?s 和?b。 9、符号?和ψ分别是材料拉伸时的（ A ）
（A）伸长率与断面收缩率； （B）屈服极限与断面收缩率； （C）比例极限与伸长率； （D）弹性极限与伸长率。 10、铸铁压缩实验中能测得的强度性能指标是（ B ）
（A）屈服极限?s和强度极限?b；（B）强度极限?b； （C）比例极限?P； （D）屈服极限?s。 11、图示等截面直杆的抗拉刚度为EA，其应变能应为（ D ） （A）V??5F2l/(6EA)； （B）V??3F2l/(2EA)； （C）V??9Fl/(4EA)； （D）V??13Fl/(4EA)。
22Fl/2l/22F
12、低碳钢试样拉伸时，横截面上的应力公式??FNA适用于以下哪一种情况?（ D ）
(A) 只适用于?≤?p； (B) 只适用于?≤?e； (C) 只适用于?≤?s； (D) 在试样拉断前都适用。
13、拉杆用四个直径相同的铆钉固定在连接板上。拉杆横截面是宽为b，厚为t的矩形。已知拉杆和铆钉的材料相同，许用切应力为[?]，许用挤压应力为[?bs]，许用正应力为[?]。设拉力为P，则铆钉的剪切强度条件为（A ）
（A）P?[?]； （B）2P?[?]
22?d?d（C）
P； （D）4P?[?] ?[?]?d24?d2
18
14、续上题，拉杆的挤压强度条件为（ B ）。 （A）
PPPP?[?bs]； （B）?[?bs]； （C）?[?bs]； （D）?[?bs] 2td4td2?td4?tdP?[?]； ?b?d?t15、续上题，拉杆的拉伸强度条件为（B或D ）。 （A）P?[?]； （B）bd（C）2P3P?[?]； （D）?[?] 2bt??d4?b?2d?t三、填空题 1、在拉（压）杆斜截面上某点处的内力分布集度为该点处的 应力 ,它沿着截面法线方向的分量称为 正应力 ,而沿截面切线方向的分量称为 切应力 。 x2、图示两杆材料密度均为?，长度相同，横截面面积不同(A1＜A2)，两杆在自重作用下，在对应的x截面处的应力分别为?1=?g?l?x?，?2=?g?l?x?。 (1)(2)l3、某阶梯状杆受力如图示，已知在B处，沿杆轴线作用的载荷F1?60 kN，在自由端C沿轴线作用的载荷F2?20 kN，AB段横截面面积A1?200 mm2，长l1?1 m，BC段横截面面积A2?100 mm2，长l2?3 m，杆的弹性模量E?200 GPa，求： （1）B截面的位移?B= 3?10m 。 （2）杆位移为零的横截面位置x= 2m 。 -3F1Al1Bl2F2Cx4、对于没有屈服阶段的塑性材料，通常将对应于塑性应变εP= 0.2% 时的应力定为屈服强度或名义屈服强度。 5、铸铁试样压缩破坏在 与轴线成50°~55°斜截面 方向，是由 切 应力造成的。 6、符号?和ψ分别是材料拉伸时的 伸长率 和 断面收缩率 。公式??l1?l?100%中的l1lA?A1是 断裂后试验段（标距） 的长度。???100%中的A1是试件 断后颈缩处的最小 截A面积。 7、三杆的刚度和杆长相等，受力如图（a）、（b）、（c）所示。若已知（a）、（b）杆的应变能分别为V? a和V? b，B端位移分别为? a和? b。则（c）杆的应变能V? c =?? V? a + V? b + F1?? b ???????； B端的位移? c =??? a + ? b ???????。
8、图示销钉的切应力??F，
π dhDhABF1AdCF2B挤压应力??bs4F。 22π (D?d)AFCF2BF1
19
四、计算题
1、设有一杆受F?160 kN的轴向拉力作用，若最大切应力不得超过80 MPa，试求此杆的最小横截面面积A。 解：由题意，?max??≤80 MPa，则横截面上的正应力?≤160 MPa
2??
FF最小横截面的面积A≥?10?3 m2?10 cm2 6A, 160?102、已知变截面钢杆，Ⅰ段为d1?20 mm的圆形截面，Ⅱ段为a2?25 mm的正方形截面，Ⅲ段为d3?12 mm的圆形截面，各段长度如图示。若此杆在轴向压力F作用下在第Ⅱ段上产生正应力?2??30 MPa，杆的弹性模量E?210 GPa，试求此杆的总缩短量。
解：由 ??FN??30 MPa
2ⅢA2FⅠ0.2mⅡ0.4mF得 FN??18750 N 杆的总缩短量 ?l?FNl1FNl2FNl3??EA1EA2EA30.2m0.2?40.40.2?4???0.272 mm ?FN????2?22??E?πd1a2πd3?
3、如图示，作用在刚性杆AB上的铅垂载荷F可以移动，其位置用x表示，杆1和杆2横截面面积相同，弹性模量分别为E1?E，E2?2E。试求：
（1）欲使杆1和杆2轴向伸长量相等，x应为多少？ （2）欲使杆1和杆2轴向线应变相等，x应为多少？ 解：刚杆AB受力如图
0.9l1AxlE1FE22Bl?M?MBF?l?x? ?0，FN1l?F?l?x??0，FN1?lFx
?0，FN2l?Fx?0，FN2?lA（1）?l?FN1?0.9l?0.9F?l?x?，?l?FN2l?Fx
12E1AEAE2A2EA当?l1??l2时，0.9?l?x??x，x?9l?0.64l
142（2）?1?FN1AxFFN2Bl?l1F?l?x??l，?2?2?Fx?0.9lEAll2EAl
当?1??2时，l?x?x， x?2l
32
20
练习9 扭转
9-1 选择题
（1）在下图所示受扭圆轴横截面上的切应力分布图中，正确的切应力分布应是（ D ）
TTTT
(A)(B)(C)(D)（2）一内径为d，外径为D的空心圆轴，其扭转截面系数为（ C ） 3333(A) W?πD?πd； (B) W?πD?πd； pp3232161644πDπd。 (C) W?π(D?d)； (D) Wp??p323216D44（3）建立圆轴的扭转切应力公式???T?Ip时，以下哪个关系式没有用到？（ C ） (A) 变形的几何协调关系； (B) 剪切胡克定律； (C) 切应力互等定理； (D) 切应力??与扭矩的关系T?A???dA ?（4）图示等截面圆轴上装有四个皮带轮，如何合理安排？（ A ） (A) 将轮C与轮D对调； (B) 将轮B与轮D对调； (C) 将轮B与轮C对调；
(D) 将轮B与轮D对调，然后再将轮B与轮C对调。 9-2 填空题
（1）当轴传递的功率一定时，轴的转速越小，则轴受到的外力偶矩越 大 ，当外力偶矩一定时，传递的功率越大，则轴的转速越 高 。 （2）试求图示圆截面轴在指定截面上的扭矩: 1-1截面：T1? 800N?m ； 2-2截面：T2? -600 N?m 。
（3）剪切胡克定律可表示为 ?=G? ，该定律的应用条件是 切应力不超过材料的剪切比例极限，即???p。
（4）外径为120 mm，厚度为5 mm的等截面薄壁圆管承受扭矩T?2 kN?m，其最大的切应力
?max?T2πR0?20.20.20.61.0ABC(单位:kN?m)D12800114002600(kN?m)?2?103?19.26 MPa1152?92π?()?5?102
（5）由 切应力互等 定理可知，圆轴扭转时在过轴线的纵截面上有平行于轴线的切应力。
21
9-3、圆轴受力如图所示，直径为d。试： （1）画出扭矩图；
（2）画出危险截面的切应力分布图； （3）计算最大切应力。 解：（1）扭矩图
（2）危险截面为T??1.5Me内 （3）
1.5Me3MeMe0.5MeATl/21.5MeBl/4Cl/4Dx0.5Me1.5Me?max1.5Me24Me
??π3πd3d16
O或O?max?max9-4、某传动轴，转速n?300 rmin，轮1为主动轮，输入功率P1?50 kW，轮2，轮3和轮4为从动轮，输出功率分别为P2?10 kW，P3?P4?20 kW。试求:
（1）绘该轴的扭矩图；
（2）若将轮1与轮3的位置对调，试分析对轴的受力是否有利 。 解：(1) 外力偶矩 M?9 549P1?1 591.5N?m
e1n21P2P13P34P40.8 mT/N?m0.8 m12730.8 mMe2?9 549P2扭矩图 ?318.3N?mn
P3?636.6N?m n636.6x318.3Me3?Me4?9 549(2) 若将轮1与轮3对调，扭矩图为最大扭矩较对调前要小, 故轮1与轮3对调对受力有利。
T/N?m636.6x
318.3954.922
9-5 选择题
（1）关于扭转角变化率公式d??T的使用条件是（ A ）
dxGIp(A) 圆截面杆扭转，变形在线弹性范围内； (B) 圆截面杆扭转，任意变形范围； (C) 任意截面杆扭转，线弹性变形； (D) 矩形截面杆扭转。
（2）用同一材料制成的空心圆轴和实心圆轴，若长度和横截面面积均相同，则扭转刚度较大的是（ B ）
(A) 实心圆轴； (B) 空心圆轴； (C) 二者一样； (D) 无法判断。 （3）实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半，其他条件不变，则圆轴两端截面的相对扭转角是原来的（ D ）
(A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。
（4）一圆轴用普通碳钢制成，受扭后发现单位长度扭转角超过了许用值，为提高刚度，拟采用适当措施，正确的是（ C ）
(A) 改为优质合金钢； (B) 用铸铁代替； (C) 增大圆轴直径； (D) 减小轴的长度。
（5）在密圈螺旋弹簧的两端，沿弹簧轴线有拉力作用。这时引起弹簧轴向的伸长，主要是由弹簧丝的何种变形造成的？（ C ）
(A) 弯曲； (B) 拉伸； (C) 扭转； (D) 剪切。 （6）单位长度扭转角与（ A ）无关
（A）杆的长度； （B）扭矩； （C）材料性质； （D）截面几何性质。
9-6 填空题
（1）长为l，直径为d的圆轴，材料的切变模量为G。受扭转时，测得圆轴表面的纵向线倾斜一微小角度?，横截面的最大切应力?max= G? ，横截面上的扭矩T= G??d3 /16 ，两端横截面的的相对扭转角?= 2?l/d ，单位长度扭转角??= 2?/d 。
（2）GIP称为圆轴的 扭转刚度 ，它反映圆轴的 抵抗扭转变形 能力。
（3）许用单位扭转角[?? ]的量纲为rad/m时，等直圆轴扭转的刚度条件为??T的量纲为(?)m时，其刚度条件为??T(GI)?180?π ? [?] (?)m。
maxp（4）一受扭等截面圆轴，当直径缩小一半，其他条件不变时，其最大切应力是原来的 8 倍，单位长度扭转角是原来的 16 倍。
max [?? ](GIp)?[?] radm，23
（5）图示阶梯形圆轴受扭转力偶Me1和Me2作用，若材料的切变模量为G，则截面C相对截面A扭转角?AC=32(Me2?Me1)a(Gπd14)，而在Me1单独作用时，截面B相对截面A扭转角?AB=32Me1a(Gπd14)。
Me1d1AaCd22aBMe2（6）圆柱形密圈螺旋弹簧受轴向载荷作用时，簧丝截面上内力分量为扭矩和剪力，当簧丝直径d远小于弹簧圈的平均直径D时，可以略去 剪力 和 簧丝曲率 的影响。
（7）矩形截面杆扭转变形的主要特征是 横截面翘曲 。
（8）矩形截面杆自由扭转时，横截面上最大切应力?max发生在 长边中点 ，横截面上的四个角点和形心处切应力值为 零 。
9-7、某圆截面杆长l，直径d=100mm，两端受轴向拉力F=50kN作用时，杆伸长?l=0.1/? mm，两端受扭转力偶矩Me=50kN?m作用时，两端截面的相对扭转角?=0.2/? rad，该轴的材料为各向同性材料，试求该材料的泊松比。
解： E?Fl?200?109lPa，G?Mel?80?109lPaA?lIp?
9-8、一空心圆截面铝轴，外径D=100mm，内径d=90mm，长度l=2m，最大切应力?max=70MPa，切变模量G=80GPa，全长受扭矩T，试求：（1）两端面的相对扭转角；（2）在相同应力条件下实心轴的直径。 解：（1） ?T?max??，
E?1?0.25 2G?IPD2Ip?max2 ，T??4.73 kN?mD，
??2?lTl?max?0.035 rad?2? GIPGDπ?max（2） 设实心轴的直径为d1，d?316T?70 mm
1
24
练习10 平面图形的几何性质
10-1 是非题
（1）当截面图形的一对形心轴中有一轴为对称轴时，则这对形心轴必为形心主惯性轴( 是 )。 （2）平面图形对某一轴的静矩，可以是正值或负值，但不可以等于零( 非 )。 （3）平面图形对某一轴的惯性矩，可以是正值或负值，也可以等于零(非 )。
（4）在平行移轴定理Iy?Iy?Aa2，Iz?Iz?Ab2中，a和b分别为任意平行轴y与y0和z与z0
00之间的距离(非 )。
（5）任意形状截面图形对形心轴的静矩一定等于零；图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴
(是 )。
10-2 选择题
（1）由惯性矩的平行移轴公式，Iz的答案是（C ）
2yh/2zh/2b/2b/2z1(A) Iz?Iz?bh/4； (B) Iz?Iz?bh/4；
21233(C) Iz?Iz?bh； (D) Iz?Iz?bh。
212
（2）关于主轴的概念，有如下说法，正确的是（ D ）。
(A) 平面图形有无限对形心主轴； (B) 平面图形不一定存在主轴；
33h/2z2a(C) 平面图形只有一对正交主轴； (D) 平面图形只有一对形心主轴。
（3）zC是形心轴，zC轴以下面积对zC轴的静矩Sz为（A）
C
h1zCh2ayb(A)ah12/2； (B)a2h1/2； (C)ab(h2?a/2)； (D)ab(h2?a)。
（4）平面图形对一组相互平行轴的惯性矩中，对形心轴的惯性矩有（ B ）
（A）最大； (B)最小； （C）在最大和最小之间； （D）0。
（5）工字形截面如图所示，Iz为（A ）
(A)(11/144)bh； (B)(11/121)bh；
3bh/4h/4z3h/4h/4b/3b/3b/3(C)bh3/32； (D) (29/144)bh3。
（6）给定图示正方形，则图形对形心轴y和y的惯性矩Iy1与Iy之间的关系为（ B ）。
(A) Iy1 > Iy ； (B)Iy1 = Iy ； (C) Iy1 = 0.5Iy ； (D)Iy1 < 0.5Iy 。
25
Ozy145?y10-3 填空题
（1）图示形心的坐标zC= 16.54?10m 。
-2
y100（2）任意平面图形至少有 1 对形心主惯性轴，等边三角形有 400无穷多 对形心主惯性轴。
60050z（3）按定义，图形对y轴的惯性矩Iy = ?A z2dA ,其量纲为长度的 4 次方，且其值恒 大于 零。
（4）图形对通过形心的某一对正交轴的惯性积等于零，则这一对轴称为 形心主惯性轴 .
OAzyybh/2zdAh/2yyzCDD
第（4）题图 第（5）题图 第（6）题图
（5）图示矩形对zC轴的惯性矩Iz?bh3/12，对y轴的惯性矩Iy?b3h/3。
C（6）图示组合图形，由两个直径相等的圆截面组成，此组合图形对形心主轴y的惯性矩Iy 为 5?D4/32。
10-4、证明边长为a的正方形截面对通过形心C的任意轴的惯性矩为a4/12。
证： 因为Iy?Iz?a4/12，Iyz?0
利用转轴公式：
Iy1?(Iy?Iz)/2?(Iy?Iz)cos2?/2?Iyzsin2??a4/12
因为?为任意角，故结论得证。
z1zy1a
ay26
自测题二
一、是非题
1、一受扭等截面圆轴，若将轴的长度增大一半，其它条件不变，则轴两端的相对扭转角也将增大一倍。( 是 )
2、矩形截面杆扭转时，其最大切应力发生在长边中点，方向与长边垂直。( 非 ) 3、矩形截面杆扭转时，四角点处的切应力均等于零。 (是 ) 4、切应力互等定理是根据微元体的平衡条件导出的。 ( 是 )
5、矩形截面杆扭转时，横截面周边上各点的切应力必与周边垂直（四角点除外）。(非 ) 6、所谓密圈螺旋弹簧是指螺旋升角?很小（如??50）的弹簧。 ( 是 )
二、选择题
1、阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D）
（A）扭矩最大的截面； （B）直径最小的截面； （C）单位长度扭转角最大的截面； （D）不能确定。
2、建立圆轴的扭转切应力公式???T?Ip时，“平面假设”起到的作用有（ B ）
(A) “平面假设”使物理方程得到简化； (B) “平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律； (C) “平面假设”是建立切应力互等定理的基础； (D) “平面假设”给出了横截面上内力与应力的关系T??A??dA。
3、材料不同的两根受扭圆轴，其直径、长度和所受的扭矩均相同，它们的最大切应力之间和最大相对扭转角之间的关系有（ B ）
(A)?1??2，?1??2； (B)?1??2，?1??2； (C)?1??2，?1??2 (D)?1??2，?1??2。 4、矩形截面，C为形心，阴影面积对zC轴的静矩为（SzC）A，其余部分面积对zC轴的静矩为 （SzC）B，它们之间的关系有（ D ）
(A) (S)?(S)； (B) (S)?(S)；
zCAzCBzCAzCB(C) (S)?(S)； (D) (S)??(S)。 zCAzCBzCAzCB5、带油孔的轴，截面如图，它对x轴的惯性矩Ix有（ D ）
(A)Ix?πD4?dD4； (B)Ix?πD4?dD4 ；
6463212(C)Ix?πD4CzCx644?dD12； (D)Ix?πD4323?dD12。
dD 27
三、填空题
1、在边长为2a的正方形的中心部挖去一个边长为a的正方形，则该图形对y轴的惯性矩为(5/4)a4。
第1题图 第2题图
zyO 2、若欲使轴Oy，Oz为图示任意截面的形心主惯性轴，必须满足的条件是Sy?Sz?0和Iyz?0。 3、三角形ABC，已知Iz?bh3/12，z2轴∥z1 轴，则Iz为Iz221
h/3Az2?Iz1?bh3/12。
a
CEAbyzCDb2h/3z1BbC
aB 第3题图 第4题图
4、已知zC为形心轴，则截面对zC轴的静矩Sz?0，zC轴上下两侧图形对zC轴的静矩Sz（上）
CC与Sz（下）的关系是 Sz（上）与Sz（下）绝对值相等或Sz（上）= -Sz（下）。
CCCCC四、计算题
1、受扭转力偶作用的圆截面杆，长l=1m， 直径d=20mm，材料的切变模量G=80GPa，两端截面的相对扭转角?=0.1 rad。试求此杆外表面任意点处的切应变，横截面上的最大切应力和外加力偶矩Me。
解：??d/2??1?10?3 rad
lMeMe??max?G??80 MPa Me??maxWp?125.6 N?m
ld28
2、为保证图示轴的安全，将OC杆与端面B刚接，当B端扭转角超过容许值? s时，C点与D点接触，接通报警器线路而报警。已知轴的许用切应力[?]?20 MPa，切变模量G?80 GPa，单位长度的许用扭转角[?]?0.35 (?)/m。试设计触点C，D间的距离Δs。 解：因 T =Me 按强度条件?max??sMe?[?] Wpd=0.1mAl=2mCMeOBDa=0.2mT?[?]Wp?3927 N?m 按刚度条件?max?T180??0.286(?)/m?[?] GIpπ?AB??maxl?9.98?10?3 rad Δs?a?AB?2 mm
3、等截面传动轴的转速n?191 r/min，由轮A输入功率PA率分别为PB模量G?80 GPa，单位长度的许用扭转角[?]?2(绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。
解：A轮安排在中间位置 MA?9 549P?400 N?m n??8 kW，由B，C，D各轮输出的功?3 kW，PC?1 kW，PD?4 kW。 已知轴的许用切应力[?]?60 MPa，切变)/m。要求：首先合理安排各轮的位置，然后n0.2 m0.2 m0.2 m同理 MB?150 N?m, ,MC?50 N?m, MD?200 N?m Tmax?200 N?m 按强度条件:?max?Tmax?[?], d?25.7 mm Wp按刚度条件:?
2002000.2 mT/N?mmax?Tmax180??[?], d?29.22 mm, 取dGIpπn0.2 m200xMAMDMDMAn0.2 mMB?30 mm MCMCMB0.2 m0.2 mT/N?m2000.2 m50x50 29
4、已知一矩形的边长h?2b，矩形对形心C点的极惯性矩Ip4?1.728?108 mm，试求b、h的
数值。
解：I34p?Iy?IZ?(bh?hb3)/12?(8b4?2b)/12?4b4/5?1.728?108
b?120mm zh?2b?240mm
hyC
b
5、求图示带圆孔的矩形截面的形心主惯性矩。
解：z100?60?50?(π/4)?402?70]/(100?60?π?402C?[/4)
?44.73 mm
Iy?60?1003/12?60?100?(50?44.73)2
6030 ?[π?404/64?(π/4)?402?(70?44.73)2]
40 ?4.24?106 mm4100
Iz?(1/12)?100?603?π?404/64
?1.67?106 mm4 60 z 30 40 100y zC y1
30
练习11 弯曲内力
11-1 填空题
（1）图示梁，C截面的剪力和弯矩值分别为F?0,SCMC?ql2 8l/2qCl/2（2）若简支梁上的均布载荷用静力等效的集中力来代替，则梁的支反力值将与原受载梁的支反力值 相等 ，而梁的最大弯矩值将 大于（或不等于）。 原受载梁的最大弯矩值。
（3）图示梁C截面弯矩MC =ql2Me；为使MC =0，则Me=ql2；为使全梁不出现正弯矩，则Me
8?24≥ql2。
2 qMeqaqq ACBAxBCDx
l/2l/2a3aa2aa 第（3）题图 第（4）题图 第（5）题图
（4）图示梁，剪力等于零的截面位置x之值为 7a/6 。
（5）图示梁BC段的弯矩方程和x的范围是2M(x)??qx2?2qa(x?a)(a?x?3a)。
11-2、试求下列各梁中1-1, 2-2, 3-3横截面上的剪力与弯矩.
1-1截面：FS1=qa，M1=- qa2/2， FS1=4.4kN，M1= 0， 2-2截面：FS2=qa，M2= qa2/2 FS2=-1.6kN，M2=4.2kN?m 3-3截面：FS3= qa/2，M3= qa2/8 FS3=-1.6kN，M3=7.2kN?m
11-3 写出下列各梁的剪力方程与弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 （1） qa2
qFSx
aMqaqa2 qa 2/2
x
31
（2） FaF
aa
FSF
x
Mx Fa
（3） 2kN/m12kN?m
2m2m
F S/kNx
4
M/kN?m8
x 4
（4）
5kN/m8kN?m 4m2m FS
8kN x
M6.4kN?m12kN x
8kN?m
32
11-4 选择题
（1）梁受力如图，在B截面处（ D ）
(A) 剪力图有突变，弯矩图连续光滑； (B) 剪力图有尖角，弯矩图连续光滑； (C) 剪力图、弯矩图都有尖角； (D) 剪力图有突变，弯矩图有尖角。
（2）图示梁，当力偶Me的位置改变时，有（ B ）
(A) 剪力图、弯矩图都改变； (B) 剪力图不变，只弯矩图改变； (C) 弯矩图不变，只剪力图改变； (D) 剪力图、弯矩图都不变。
（3）若梁的受力情况对于梁的中央截面为反对称（如图），则下列结论中正确的是（ D ）
(A) 剪力图和弯矩图均为反对称，中央截面上剪力为零； (B) 剪力图和弯矩图均为对称，中央截面上弯矩为零； (C) 剪力图反对称，弯矩图对称，中央截面上剪力为零； (D) 剪力图对称，弯矩图反对称，中央截面上弯矩为零。
（4）多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。下列结论中正确的是（ D ）
(A) 两者的剪力图相同，弯矩图也相同； (B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同； (C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同； (D) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同。
l(a)Meal(b)MeaalaqqFABqCFqMeaaa（5）长4 m的简支梁，其剪力图如图所示。下列说法不正确的是（ D ） (A) 梁在0≤x≤3 m段必有三角形分布载荷作用； (B) 梁在3 m ≤x≤4 m段必有均布载荷作用； (C) 除支反力外，梁上无集中力； (D) 梁上不可能有集中力偶作用。
11-5、作图示梁的剪力图和弯矩图
3mqa30F S/kN切线水平二次抛物线10x301m8kN?m
q8kN?m20kNaFS3qa/22a2mFSx2mx10kN12kN?mx10kNqaMqa2qa/22qa /8xM8kN?m8kN?m33
2FFqqa2 aaaa2a
FS5F/3 FSx x2qa MF/3qa24F/3 5Fa/3xM4Fa/3 xqa2
qa24qaq 2qa2q 2aaaqaaa
FS3qaqaFSqa xx
qaqa23qa M2M4qa2qa /23qa2x xqa22 qa /2
11-6 、梁的剪力图如图所示，作弯矩图及载荷图。已知梁上没有作用集中力偶。 FSqaFSqa/2 xx
qa qa/2a/2a/2aaaa q解： qaq
aaaqa/2qa/2
25qa /82qaMqa2qa /2 qa /2qa2/2M
xx
34
练习12 弯曲应力
12-1 填空题
（1）图示梁在CD段的变形称为 纯弯曲 。 此段内力情况为剪力等于 零 弯矩等于 常数 。
AaFCFDaBl（2）梁在弯曲时，横截面上正应力沿其截面高度是按 线性 分布的；中性轴上的正应力为 零 。 （3）图示简支梁的EI已知，如在梁跨中作用一集中力F，则中性层在A处的曲率半径??4EI。
FAPll/2l/212-2 选择题
（1）由梁弯曲时的平面假设，经变形几何关系分析得到（ C ）
(A) 中性轴通过截面形心； (B) 梁只产生平面弯曲； (C) ??y； (D) 1?M
??EIz（2）在推导梁平面弯曲的正应力公式??My时，下面哪条假定不必要。（ D ）
Iz(A)
???p； (B) 材料拉压时弹性模量相同；
(C) 平面假设； (D) 材料的[?]??[?]?。
（3）T形截面的梁，两端受力偶矩Me作用。以下结论哪一个是错误的。（ D ）
(A) 梁截面的中性轴通过形心；
(B) 梁的最大压应力出现在截面的上边缘； (C) 梁的最大压应力与最大拉应力数值不等； (D) 梁内最大压应力的值(绝对值)小于最大拉应力。
12-3、图中悬臂梁，试求截面a-a上A、B、C、D四点的正应力，并绘出该截面的正应力分布图。
MeMe3mA15 kN20kN?ma300a1m1mD3180CBy50z-7.41 MPa7.41 MPa解：Ma?20 kN?m, Iz?bh?4.05?10?4 m4
12?B?
MayB?4.94 MPa, ?C?0, ?D???A?7.41 MPa Iz35
12-4、图示梁许用应力[?]=160MPa，试求：（1）按正应力强度条件选择圆形和矩形两种截面尺寸；（2）比较两种截面的Wz/A，并说明哪种截面好。
3解：（1）圆形：W?πd?M
z32[??b15kN/md2mz2bzd?332M?78 mm π???2矩形：W?b?(2b)?M，b?41 mm, h?82 mm
z6[??32Wπd/32z（2）圆形：， 矩形：Wz?2b/3?13.67所以矩形截面较好。 ??9.75Aπd2/4A(2b)2
12-5、截面为工字型钢的简支梁，工字钢型号为No.16，在跨中承受集中载荷F的作用，在距中点250 mm处梁的下沿点D，装置了一应变计，梁受力后，测得点D的应变为4.0?10?4，已知钢材的弹性模量为E?210 GPa，试求载荷F。
解：根据单向拉伸时的胡克定律，点D的正应力为
CA750z250D750BF??E??210?109?4.0?10?4?84 MPa
根据弯曲正应力公式??M，
Wz查表知No.16工字钢的Wz?141 cm3，因此 11.84kN?m M??Wz?84?106?141?10?6?11.42 kN?m由截面法求出截面D的弯矩M与载荷F的关系M?Fl
6由此得F?6M47.38kN 6?11.42?103??45.68 kNl1.512-6、T形截面外伸梁受载如图示，设截面对中性轴的惯性矩Iz?2.9?10?5 m4。试求梁内的最大拉应力?t?和最大压应力?c?。 解：弯矩如图
M?12 kN?m的截面上
34kN20kNC53.2z200??max12?103?53.2?10?3??22 MPa2.9?10?51m1m0.5m??max?12?103?(200?53.2)?10?3?60.7 MPa 2.9?10?5M12kN?mx10kN?mM??10 kN?m的截面上
?? ?max?50.6 MPa, ?max?18.3MPa12.3 MPa
36
12-7 选择题 （1）矩形截面的外伸梁受载情况如图。在x?a的横截面上，点A处切应力?A为（ D ） (A) 3F； (B) ?3F； F4bh4bhAxOh(C) 4F； (D) 0。 b3bhaaa （2）对于矩形截面梁，在横力载荷作用下以下结论错误的是（ D ） (A) 出现最大正应力的点上，切应力必为零； (B) 出现最大切应力的点上，正应力必为零； (C) 最大正应力的点和最大切应力的点不一定在同一截面上； (D) 梁上不可能出现这样的截面，即该截面上最大正应力和最大切应力均为零。 （3）图示梁的材料为铸铁，截面形式有4种如图，最佳形式为（D ） q (A)(B)(C)(D) （4）等强度梁有以下4种定义，正确答案是（D ） （A）各横截面弯矩相等； (B) 各横截面正应力均相等； (C) 各横截面切应力相等； (D) 各横截面最大正应力相等。 （5）对于相同的横截面积，同一梁采用（ B ）截面，其强度最高。 (A)(B)(C)(D)（6）图示载荷，在支座的四种布置方案中，从强度考虑，最佳方案为（ D ）。
F/3F/3/3q=F/l F/3F/3FF/3q=F/l
l/4l/4l/4l/4ll/4l (a)/4l/4l/4(b)l(a)Fq=F(b)/l Fq=F/l l/2l/2l/53l/5l/5 l/2(c)l/2l/5(d)3l/5l/5 (c)(d)
37
12-8、一矩形截面简支梁h?200 mm, b?100 mm, F?6 kN，试求在集中力F偏左截面上点A，B处的
?A 和 ?B，并求?max。
??解：F?2F?4 kN
9FSS3?b??0.225 MPa8A3F?max?S?0.3 MPa2A
12-9、图示梁，已知l、b、h及梁材料的[?]， 当?max?[?]时，试求?max。 解：该梁的剪力图和弯矩图如图所示， FSSz, ?a?0bIzFh1m2mAbzh/4Bb/4yqM =ql /2eh2l/22l/2b?max?6Mmax3ql4bh[?]?[?], Mmax?, q?2bh89l22FSxM3ql /82FSmax?ql?
3F4bh[?]2h[?] , ?max?Smax?9l2A3l2qlql /82x12-10简支木梁如图，受移动载荷F?40 kN作用。已知许用应力[????? MPa，许用切应力[???? MPa，h/b?3/2。试求梁的横截面尺寸。 解：F在跨中时，得MF在靠近支座时，FmaxFh1mb?Fl?10 kN?m 4Mmax?[?? WzSmax?F?40 kN, ?max?b?0.139 m, h?0.208 m ?max?
3FSmax?2.07 MPa?[??，安全 2A12-11、图示简支梁，由三块尺寸相同的木板胶合而成。已知许用切应力[????? MPa，许用应力 [???? MPa，胶缝的许用切应力[????? MPa， l?400 mm，b?50 mm，h?80 mm，试求许可载荷[F]。 解：Mmax?M22Fl, FSmax?F, ?max?max?[??? F?4.2 kN 93WFhb2l/3l/3?max?胶缝??
3FSmax?[??? F?40 kN 2A?FSmaxSz?[???? F?22.5 kN 取 [F]?4.2 kN Izbmax38 练习13 弯曲变形
13-1 是非题
（1）任一平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线。(是 )
（2）只要满足线弹性条件，就可应用挠曲线近似微分方程，并通过积分法求梁的位移。(非 )
答：还应满足小变形条件。
（3）若两梁弯曲刚度相同，且弯矩方程M(x)也相同，则两梁的挠曲线形状一定相同。 (是 ) （4）若两梁弯曲刚度相同，且弯矩方程M(x)也相同，则两梁对应截面的位移一定相同。 (非 )
答：位移还与约束条件有关，约束不同则位移不一定相同。
（5）梁上弯矩最大的截面，其挠度也最大，而弯矩为零的截面，其转角则为零。 (非 )
答：位移不仅与内力有关，而且与边界位移条件有关。
（6）两根材质不同但截面形状尺寸及支承条件完全相同的静定梁，在承受相同载荷作用下，两梁对应截面处位移相同。 ( 非 )答：位移还与E有关，材质不同则E不同。
（7）等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率最大值一定发生在转角θ等于零的截面处。(非 )
答： 由1??M(x)可知，曲率最大值发生在Mmax位置。 EI（8）阶梯状变截面梁受荷载如图示，当用积分法求位移时，因有三个M(x)方程，则将出现6个积分常数。(非) 答：荷载分梁为三段，有三个M(x）方程，但CD段内刚度变化，
应有四个挠曲线近似微分方程，将出现8个积分常数。
F2EIACEIDqB
13-2 填空题
（1）梁变形中挠度和转角之间的关系为w?(x)??(x)
（2）当梁上作用有均布载荷时，挠曲线方程是x的 4 次方程，作用有集中力时，挠曲线方程是x的 3 次方程，作用有集中力偶时，挠曲线方程是x的 2 次方程。
2（3）已知梁的挠曲线方程w(x)?Fx(3l?x)，则梁的M(x)方程为F(l?x)
6EI（4）用积分法求图示梁的挠曲线方程时，
边界条件是 x=a，w1=0，w2=0；x=2a，w2=0，w3=0；
连续条件是 x=a，w1??w2?；x=2a，w2??w3?。
wqABCMexaaaD（5）应用叠加原理求梁的变形及位移应满足的条件是 线弹性 ，和 小变形 。 （6）为使图示梁在自由端C处的转角为零，则Me= ，3wC= 。答：M?1Fl，w?Fl（↓）
eC3EI4FEIAlBlMeC（7）两根梁尺寸、受力和支承情况完全相同，但材料不同，弹性模量分别为E1和E2，且E1=7E2，则两根梁的挠度之比w1/w2为 1/7 。
39
（8）图示超静定结构承受任意载荷作用。若取B端作为多余约束，则相应的变形协调条件是wB?0
。
AqB（9）已知图(a)所示梁中点C的挠度为w?Fb(3l2?4b2)（a≥b），则图(b)所示梁中点C的挠度
C48EI3为wC=0.024Fl（↓）。
EIaAl/2EIC(a)FbBl/2A0.2lFEIl/2C(b)F0.2lBFhlbl/2
第（9）题图 第（10）题图 （10）矩形截面悬臂梁受载荷如图示。
（a）若梁长l增大至2l，则梁的最大挠度增大至原来的 8 倍；
（b）若梁截面宽度由b减小到b/2，则梁的最大挠度增大至原来的 2 倍； （c）若梁截面高度由h减小到h/2，则梁的最大挠度增大至原来的 8 倍。
13-3、已知杆BC的拉压刚度为Ea2，梁AB的弯曲刚度为2Ea4/3。试用积分法求端点A的转角 θ
A和梁的中点挠度。
解：EIw????qx2?qlx
2CwA2lqBlxC??ql2(a?l2),D?03EIw???EIw??q4ql3ql2x?x?(a?l2)623q4ql3ql2x?x?(a?l2)x 2463?A??ql22(a?l)（2Ea4）
ql2?252?（↓）
w中??a?l?8?2Ea4?
40
13-4、试用积分法求图示简支梁两支端截面A与截面B的转角θA、θ梁弯曲刚度EI为常量。
B及跨中截面C的挠度wC值，
F解： EIw1???Fl?x
2wFl?2?FxCl/2l/2BFl?? EIw2???Fl?x?F?x??
2A C?C??19Fl2, D1 = D2 = 0
12482 EI?1?Flx?Fx2?19Fl
4482 EIw1?Flx2?Fx3?19Flx
21248l?19Fl2 EI?2?Flx?Fx2?F??x???42?2?482l?19Fl2 EIw2?Flx2?Fx3?F?x?x???2126?2?483 ?A??19Fl（48EI2 ?B?11Fl（
48EI
2）
Fl3） wC??（↓）
12EI13-5、图示空心圆截面梁的外径D=80 mm，其内径d=40 mm，弹性模量E=200 GPa，要求点C的挠度不得超过AB间跨长的1/104，截面B的转角不得超过1/103 rad。试校核梁的刚度。
F2?(0.4)3F1?0.1?(0.4)2解：wC? ?48EI16EIπI?(D4?d4)?1.885?10?6m464F2=1 kNF1=2 kNB0.2 m0.1m AC0.2 mwC?0.177?10-5 m（↑）＜0.4×10-4 m
-5F2?(0.4)2F1?0.1?0.4?B????4.42×10（16EI3EI）
|θB| = 4.42×105＜0.001 满足刚度要求
-
41
13-6 选择题
（1）图示梁是（ C ）
(A) 静定梁； (B) 1次超静定梁； (C) 2次超静定梁； (D) 3次超静定梁。
F（2）设杆CD的未知轴力为FN，已知结构的弯曲刚度EI、拉压刚度EA，则图示结构在C点的变形协调条件是（ B ）
（A）wC?0 ; （B）w?FNl ；
CDFAEIB1.5llEAEACl（C）w?FNl?0 ； （D）?C?0 。
CEA
（3）解图（a）所示超静定梁时，若取图（b）所示的静定基，其变形协调条件是（ B ）
（A）wA?0,wB?0； （B）?A?0,?B?0； （C）wA?0,?A?0； （D）wB?0,?B?0。
32（4）已知图（a）???Fl，w??Fl，又知图（b）与图（a）梁弯曲刚度相同。则图（b）梁
BB2EI3EIFFqAEI(a)BMAEIqMB(b)支座B的反力FBy为（ A ）
EIAl(a)BAl/2(b)l/2B（A）5F ； （B）11F ； （C）6F ； （D）7F 。
16161616
（5）已知图（a）中点B处挠度，又知图（b）与图（a）梁弯曲刚度相同。则图示（b）梁支座B的反力FBy为（ B ） （A）
3ql (?) ； 84EIl/2qBqAl(b)l/2wB?Fl348EIBCl（B）5ql ( ?) ； （C）
l/2wB?5ql4384EI5ql ( ?) ； 84FEIl/2B(a)（D）3ql (?) 。
42
自测题三
一、是非题
1、两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。（F）
2、最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上（F） 3、控制梁弯曲强度的是最大弯矩值。（F）
4、由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度和转角也与截面上的弯矩成正比 （F） 5、梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，则梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。（T）
6、只要梁上有集中力偶作用，则梁上最大弯矩一定发生在集中力偶作用处的左侧或右侧截面上。（F ）
二、选择题
1、当圆截面梁的直径增加一倍时，则梁的强度是原梁的（ D）
（A）2倍； （B）1倍； （C）4倍； （D）8倍。 2、梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ C）旋转。
（A）梁的轴线； （B）截面对称轴； （C）中性轴； （D）截面形心。 3、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（ Ｄ）处。
（A）挠度最大； （B）转角最大； （C）剪力最大； （D）弯矩最大。 4、应用叠加原理求梁横截面的挠度、转角时，需要满足的条件有（ Ｃ） （A）梁必须是等截面的； （B）梁必须是静定的； （C）变形必须是小变形； （D）梁的弯曲必须是平面弯曲。 5、提高钢制梁刚度的有效措施有（C、D ）
（A）增加梁的横截面面积； （B）用高强度钢代替普通钢；
（C）减小梁的跨度或增加支承； （D）保持横截面面积不变，改变截面形状，增大惯性矩。
三、焊接工字形截面钢梁受力如图所示。在对该梁进行强度校核时，最大弯曲正应力发生在 C截面上下边缘 ，采用的强度条件式应是（ A ）；最大弯曲切应力发生在 AC段的中性层处 ，采用的强度条件式应是（ B ）；在对C稍左横截面上的a、b两点进行强度校核时，采用的强度条件式是（ D ）。 A、?????； B、?????；
C、?????,?????； D、
?2?4?2????
43
四、计算题
1、矩形截面悬臂梁受载荷如图所示，已知q=10 kN/m，l=3 m，许可挠度[w/l]=1/250，许用应力[σ]=120 MPa，弹性模量E=200 GPa，且h=2b，试求截面尺寸。 解：由强度条件
22 ?max?ql/2?3ql≤[?]，
bh2/64b3qlhbb≥
33ql4[?]2，bmin=82.55 mm
34，b≥750ql，bmin=89.19 mm
4l由刚度条件 ql≤
8EI
25016E取 b=90 mm，h=180 mm
2、试用叠加法求图示梁截面B的挠度和中间铰C左、右截面的转角。
FAEIaBaCEIaD
2F(2a)3Fa31Fa3解：wB?wC?wBF?（↓）, ??Fa（??C右212EI48EI4EI4EIwCFa2Fa2Fa2 ?C左??CF?（） ???2a4EI12EI6EI）
????[?]=10MPaPa, 3、外伸梁受载如图，已知，d求梁的许可载荷F的数值。 解：FB?F(?), FC?2F(?)， 其剪力图和弯矩图如图示。 ?200 mm, a?1 m。试绘梁的剪力图和弯矩图，并
FCAaFSFaB2aFxFFaxFadW?785.4?10?6 m3, A?314.2?10?4 m2 由
?max?Fa?[?]， 得 F?7.85 kN WM则取
[F]?7.85 kN
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练习14 应力状态和强度理论
14-1 是非题
（1）在正应力为零的截面上，切应力必具有最大值或最小值。( 非 ) （2）切应力为零的截面上，正应力必具有最大值或最小值。( 是 )
（3）包围一点一定有一个单元体，该单元体各面只有正应力而无切应力。（ 是 ） （4）两个二向应力状态叠加仍然是一个二向应力状态。( 非 ) （5）主应力即为最大正应力( 非 )。
14-2 选择题
（1）所谓一点的应力状态是（ D ）。
(A) 受力构件横截面上各点的应力情况； (B) 受力构件各点横截面上的应力情况；
(C) 构件未受力之前，各质点之间的相互作用状况； (D) 受力构件中某一点在不同方向截面上的应力情况。 （2）图示构件上a点处的应力状态是（ C ）。
(A) 图（b）； (B) 图（c）； (C) 图（d）； (D)图（e）。
（3）矩形截面简支梁受力如图（a）所示，横截面上各点的应力状态如图（b）所示。关于他们的正确性，下列四种答案，正确的是（ D ）。
(A) 点1、2的应力状态是正确的； (B) 点2、3的应力状态是正确的； (C) 点3、4的应力状态是正确的； (D) 点1、5的应力状态是正确的。
F(a)M e=47.1kN?m20(b)30(c)应力单位:MPa202030Me(d)3030(e)F=6.28kN3020ad=20
aF12453Fa1234(b)5FA(a)（4）对于图示悬臂梁中，点A的应力状态为（ B ） （5）关于图示梁上点a的应力状态为（ D ）
(A)(B)(C)(D)aF(A)(B)(C)(D)45
（6）在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力?????成立的充分必要条件是（B ）
(A)?x??y,?xy?0； (B)?x??y,?xy?0； (C)?x??y,?xy?0； (D)?x??y??xy。 （7）已知某点平面应力状态如图示，?1和?2为主应力，则下列 四个关系式中正确的是（B ）
?x?y?2?xy(A)?1??2??x??y； (B)?1??2??x??y； (C)?1??2??x??y； (D)?1??2??x??y。
（8）已知单元体AB、BC面上只作用有切应力?，现关于AC面上的应力为（ C）
(A)?AC??/2,?AC?0； (B)?AC??/2,?AC?3?/2； (C)?AC??/2,?AC??3?/2； (D)?AC???/2,?AC?3?/2。
AB?1??30?C14-3 填空题
（1）图示梁的A，B，C，D四点中，单向应力状态的点是 A、B ， 纯剪切状态的点是 D ，在任何截面上应力均为零的点是 C 。
aFACBFaD（2）梁的受力情况如图所示，试从单元库中找出与梁上各点相对应的单元体。
点A ⑧ ， 点B ⑦ ， 点C ④ ， 点D ⑧ ， 点E ② 。
14-4、图示单元体，试求：（1）指定斜截面上的应力；（2）主应力大小，并将主平面标在单元体图上。
解：（1）???x??y??x??ycos2???sin2?
?x22200MPa300MPa200MPa?BCAalDE①a②③④⑤⑥⑦⑧?3?128.15? ??200cos60?300sin60?1503?100?159.8MPa
?30?????x??y2??sin2???xcos2? ?200sin60?300cos120?1003?150?323.2MPa （2） ?max??x??y?(?x??y)2??2??2002?3002??10013?360.56MPa
xy?360.56?min22?2?x ?1?360.56MPa，?2?0，?3??360.56MPa 11600?0?arctan()?arctan()?28.15?2?x??y2400 46
14-5 是非题
（1）单元体最大切应力作用面上必无正应力。（非）
（2）一点沿某一方向的正应力为零，则沿该方向的线应变也为零。（非） （3）纯剪切应力状态是二向应力状态。（是）
（4）构件内一点处，若有两对互相垂直的截面上其正应力都相等，则该点在任何方向的截面上，切应力必等于零。(是 )
（5）在有应力作用的方向，必有变形。( 非 )
（6）在线应变为零的方向，正应力也一定为零。( 非 )
（7）体积应变，即单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关，而与其比例无关。(是 )（8）单元体上的畸变能密度与材料无关。(非 )
14-6选择题
（1）对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（ A ）
(A) 点a； 2020(B) 点b； (C) 点c； a20b20c20(D) 点d。 20202020
?MPa?（2）对于图示单元体中?max为（ A ） 100MPa（A）100 MPa； （B）0 MPa； 100 MPa（C）50 MPa； （D）200 MPa。
?（3）关于图示单元体属于（ A ）
?（A）单向应力状态； （B）二向应力状态； ???（C) 三向应力状态； (D) 纯剪切状态。
（4）有图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，为（ D ）
(A) 三种应力状态均相同； ??????(B) 三种应力状态均不同； 45?45?(C)（b）和（c）相同； (D)（a）和（c）相同。 ?
(a)(b)??????(c)（5）应力圆周通过σ - τ坐标系原点的平面应力状态是（ A ）。
(A) 单向应力状态； (B) 纯剪切状态； (C) 二向应力状态； D) 三向应力状态；
（6）广义虎克定律适用范围是（ C ）
(A) 脆性材料； (B) 塑性材料； (C) 材料为各向同性，且处于线弹性范围内； (D) 任何材料。
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1有位移必有（7）一构件上的某点发生了位移。在分析位移与应力的关系时，作如下两步分析：○2有变形必有应力，于是得出有位移必有应力的结论。下列答案正确的是（B ）变形；○。
(A) 两步分析均正确，故结论正确； (B) 两步分析均不成立，故结论错误；
(C) 第一步分析正确；第二步分析不成立，故结论错误； (D) 第一步分析错误；第二步分析正确，结论仍是错误。 （8）关于图示主应力单元体的最大切应力作用面为（ B ）
(A)?2?2?2?2?1(B)?1(C)?1(D)?114-7 填空题
（1）A，B两点的应力状态如图所示，已知两点处的主应力?1相同，则B点的?xy= 40MPa 。
40MPa?y
第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图 （2）某点的应力状态如图，则主应力为：?1? 30MPa ，?2? 0 ，?3? -30MPa 。 （3）某点的应力状态如图所示，该点沿y方向的线应变?y?(?y???x)。
EA60MPaB?x?xy30MPa?xy（4）设单元体的主应力为?1、?2、?3，则单元体只有体积改变而无形状改变的条件是?1??2??3；
40MPa单元体只有形状改变而无体积改变的条件是?1??2??3?0。 （5）图示单元体的最大切应力?max? 50Mpa。
30MPa60MPa（6）某点的应力状态如图示，该点的主应力为： ?2? -30MPa ；?3? -40Mpa 。?1? 0 ；
30MPa
100MPa40MPa80MPa 第（6）题图 第（7）题图
（7）某点的应力状态如图示，则主应力为：； ?2? 30MPa ?3? -100Mpa 。?1? 80MPa ；
48
（8）图示①、②、③为三个平面应力状态的应力圆，试画出各应力圆所对应的主平面微元体上的应力（图中应力单位：MPa）。 答：
14-8、已知单元体及应力圆，试在单元体上标出对应于应力圆上的点1，2，3的截面位置及应力的指向。 解：
14-9 一平面应力状态如图示。试分别用解析法和图解法求： （1）??45?截面上的应力；
（2）该点的主应力和最大切应力之值。 解：?45??5040③5040①60②②③-5-4-2①?O246?390??32①3?3②21③30??1?11545??1?45?50MPa20MPa5050??cos90???xysin90??25?20?5MPa 22?K(?45?,?45?)90? ???50sin90??25MPa 452D?50,20??x??y2?max?x??y2??()??xy ?min22?CD??0,?20?020MPa57MPa ?25?25?20??722?1?57MPa，?2?0，?3??7MPa，?max??1??3?32MPa
2
14-10、一个处于二向应力状态下的单元体，材料的弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，?1=70 MPa，
?3??70MPa。试求最大切应变?max。
解: ?max??1??32?70MPa, G?E200??76.9GPa
2(1??)2?1.3?max70?106 ???9.1?10?4 max?9G76.9?10
49
14-11、图示圆筒形压力罐是用15 mm的钢板以螺旋形焊缝平焊而成。罐内压力为1.70 MPa，同时有一个40π kN的轴向载荷通过刚性承压板作用在罐的上端。试求沿图示焊缝平面中的正应力和切应力。
解：??1.70?1.5?85MPa
y?x??????y3440πkN2?0.0151.70?1,540??103?x???40.7MPa
4?0.015??1.5?0.015所以
????x??y2??x??y2cos2??62.86?22.15(2cos2??1)?69.05MPa 1.5m???
?x??y2sin2???22.15sin2???21.26MPa
14-12、将一边长为a=100 mm的混凝土立方块密合地放入刚性凹座内，施加压力F=200 kN。若混凝土v?0.2，求该立方块各面应力值。 解： ???200?10??20MPa
y0.1?0.13Fxzyx?x?1[?x?v(?y??z)]?0 E?z?1[?y?v(?x??z)]?0 E解得：?x??5MPa，?z??5MPa
14-13图示简支梁，已知弹性模量是E和泊松比?。试求 （1）点B单元体的形状畸变能密度vd； （2）体积改变密度能vV； （3）总的应变能密度vε。
2解：（1）????3ql，?2??3?0，??0
12qBl/2l/2bh4bh1??3(1??)q2l4222vd?(?1??2??3??1?2??2?3??3?1)??24
16E3Ebh1?2?3(1?2?)q2l42（2）vV?(?1??2??3)??24
32E6Ebh241222（3）??[?1??2??3?2?(?1?2??2?3??3?1)]?9ql24
2E32Ebh
50