分析: 先画出a>1和0<a<1时的两种图象,根据图象可直接得出答案.
解答: 解:据题意,函数y=|a﹣1|(a>0,a≠1)的图象与直线y=2a有两个不同的交点.
x
a>1时
0<a<1时
由图知,0<2a<1,所以a∈(0,), 故答案为:(0,).
点评: 本题主要考查指数函数的图象与性质,考查方程根的个数的判断,体现了数形结合及转化的数学思想.
三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.设集合A={x|﹣2<x<5},B={x|m<x<2m﹣1} (1)当m=4时,求A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合.
分析: (1)把m=4代入集合B,然后直接利用并集运算得答案;
(2)由A∩B=B得到B?A,然后分当B=?和B≠?求解m的范围,取并集得答案. 解答: 解:(1)当m=4时,B={x|4<x<7}, 又A={x|﹣2<x<5}, ∴A∪B={x|﹣2<x<7}; (2)若A∩B=B,则B?A,
①当B=?时,则m≥2m﹣1,解得m≤1,满足B?A.
②当B≠?时,要使B?A成立,则:,解得:1<m≤2.
综上所述,m的取值范围是:{m|m≤2}.
点评: 本题考查了并集及其运算,考查了分类讨论的数学思想方法,是基础题.
19.计算下列各式的值 (1)1.5(2)lg
×(﹣)+8﹣lg
+lg
0
0.25
×
lg3
﹣
+10.
考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解:(1)原式==2.
(2)原式=(lg 2﹣lg 7)﹣=lg 2﹣lg 7﹣2lg 2+lg 7+lg 5+3 =lg 2+lg 5+3 =(lg 2+lg 5)+3 =.
点评: 本题考查了对数与指数幂的运算法则,属于基础题.
20.设a是实数,f(x)=a﹣
(x∈R),
5
2
×1+×﹣
++10
lg3
(1)若f(x)为奇函数,求实数a的值;
(2)试证明对于任意a,f(x)为增函数.
考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)根据函数奇偶性的性质即可求实数a的值;
(2)根据函数单调性的定义即可证明对于任意a,f(x)为增函数. 解答: 解:(1)若f(x)为奇函数,则f(0)=0, 即 ∴a=1
证明:(2)设x1,x2∈R,且x1<x2,则
,
f(x1)﹣f(x2)=﹣
=﹣
x
=.
∵指数函数y=2在R上是增函数,且x1<x2, ∴
<
x
,即﹣<0, +1>0,
又由2>0得+1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴对于a取任意实数,f(x)为增函数.
点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明,利用定义法是解决本题的关键.
21.(1)求函数y=
x
(0≤x≤3)的值域.
(2)设0≤x≤2,y=﹣3?2+5,试求该函数的最值.
考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析:( 1)令