概率论与数理统计标准作业纸答案
F(??,??)? 1 ,F(x,??)? 0 ,F(??,y)? 0 ,F(??,??)? 0 。
3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?Ae?(2x?y),x?0,y?0, f(x,y)???0,其他.则 A?2 ;P{X?Y}?x?y?0??f(x,y)dxdy??+?0?+?x2e?(2u?v)dvdu?2. 34.设D是平面上的一个有界区域,其面积为A,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从二?1?,?x,y??D;维均匀分布,则(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)? ?A
?0,?x,y??D.?三、计算题
?e?y,0?x?y1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??
?0,其他(1)求P{X?Y?1};(2)求联合分布函数F(x,y). 解(1)P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?0?x?y1201?xxedy?1?e-2e
?y-1?12?1?e?x?xe?y(2)F(x)???0 .
2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?Ae?(x?2y),x?0,y?0;f(x,y)??
其他.?0,试求(1)常数A ; (2) 概率P(0?X?1,0?Y?2). 解:(1)由于 故
??????????f(x,y)?1,
??0????0Ae?(x?2y)dxdy?A?1,所以A?2 221(2)P(0?X?1,0?Y?2)??10dx?2e?(x?2y)dy?(1?e?1)(1?e?4) .
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§3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的独立性
一、单选题
1.(X,Y)为二维连续随机变量,对任意的实数x,函数P?X?x,Y????为 ( B ) (A)关于随机变量Y的边缘分布函数 (B)关于随机变量X的边缘分布函数 (C)(X,Y)的联合分布函数 (D)以上都不对
二、填空题
1.下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部 分数值,试将其余值填入表中的空白处 Y X y1 y2 y3 P{X?xi}?pi? x1 1 241 8 1 81 121 43 41 x2 P{Y?yi}?p?j3 81 21 41 31 62.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)
23则X的边缘分布函数为FX(x)?F(x,??)?11x?arctan , Y的边缘概率密度为2?2fY(y)?FY?(y)?F?(??,y)?3. 2??y?9?3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),则随机变量X的边缘分布函数为
FX(x)?F(x,??),随机变量Y的边缘分布函数为FY(y)?F(??,y).
4. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则随机变量X的边缘概率密度为
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fX(x)??????f(x,y)dy,随机变量Y的边缘概率密度为fY(y)??????f(x,y)dx.
三、计算题
?e?y,0?x?y1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??,求X的边缘
?0,其他概率密度fX(x). 解 x?0时,fX(x)????xe?ydy?e?x,x?0时,fX(x)?0故
?e?x,x?0 fX(x)??x?0?0,2.已知随机变量X1和X2的概率分布如下
X1 ?1 0 11P 4 2 1 14
X2 0 1P 2 1 12 而且P