2.2 已知线性规划问题max z＝CXAX=bX≥0。分别说明发生下列情况时其对偶问题的解的变化：
（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；
（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；
（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3 代换。 2.3
已知线性规划问题 min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2 ＋ x4≥3 3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6 x3 ＋ x4＝2
x1 ＋ x3 ≥2 xj≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题；
(2) 已知原问题最优解为x*＝（1120）试根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题 min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量
st. 2x1 ＋x3＋ x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 xj≥0（j＝1,2,3,4）
其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1试根据对偶问题的性质求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题 max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋ x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 xj≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题
（2）用单纯形法求解原问题列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；
（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。
2.6 已知线性规划问题 max z＝10x1＋5x2 st. 3x1＋4x2≤9 5x1＋2x2≤8 xj≥0（j＝1,2）
用单纯形法求得最终表如下表所示： x1 x2 x3 x4 b x2 0 1 —
x1 1 0 — 1
?j=cj-Zj 0 0 — —
试用灵敏度分析的方法分别判断：
（1）目标函数系数c1或c2分别在什么范围内变动上述最优解不变； （2）约束条件右端项b1b2当一个保持不变时另一个在什么范围内变化上述最优基保持不变；
（3）问题的目标函数变为max z ＝12x1＋4x2时上述最优解的变化； （4）约束条件右端项由变为时上述最优解的变化。 2.7线性规划问题如下： max z＝—5x1＋5x2＋13x3 st. —x1＋x2＋3x3≤20 ① 12x1＋4x2＋10x3≤90 ② xj≥0 （j＝1,2,3）
先用单纯形法求解然后分析下列各种条件下最优解分别有什么变
化？
（1） 约束条件①的右端常数由20变为30； （2） 约束条件②的右端常数由90变为70； （3） 目标函数中x3的系数由13变为8；
（4） x1的系数列向量由（—112）T变为（05）T； （5） 增加一个约束条件③：2x1＋3x2＋5x3≤50； （6） 将原约束条件②改变为：10x1＋5x2＋10x3≤100。
2.8 用单纯形法求解某线性规划问题得到最终单纯形表如下： cj 基变量
50 40 10 60 S
x1 x2 x3 x4 a c 0 1 1 6 b d 1 0 2 4
?j=cj-Zj 0 0 e f g
（1）给出abcdefg的值或表达式；
（2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值；
（3）用a+?ab+?b分别代替a和b仍然保持上表是最优单纯形表求?a?b满足的范围。
2.9 某文教用品用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产