绝密★启用前【考试时间：2016年9月7日7:50~9:50】
河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）
理数试题
命题人：褚艳春、姜宗帅、赵鸿伟
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。 2.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。所有试题都要答在答题卡上。
第l卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合B?xx?0，且A?B?A，则集合A可能是
??1,2? B.xx?1 C.??1,0,1? D.R A.?2.复数z???i的共轭复数在复平面上对应的点在 1?i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量a、b满足a?(a?b)?5，且a?2，b?1，则向量a与b夹角的余弦值为
A.
3311 B.? C. D.? 22224.执行如图所示的程序框图，如输入的a值为1，则输出的k值为 A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?1(n?N?)，Sn为其前n项和，则Sn的值为 A.57 B.61 C.62 D.63
6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
2?? B. 332?16? C. D.
99 A.
·1·
7.为了得到y?cos2x，只需要将y?sin(2x? A.向右平移 C.向左平移
?3)作如下变换
?3个单位 B.向右平移
?6个单位 个单位
?12个单位 D.向右平移
?12?x?0?8.若A为不等式组?y?0表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，东直线x?y?a扫过
?y?x?2?A中的那部分区域的面积为
A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75
x2y29.焦点在x轴上的椭圆方程为2?2?1(a＞b＞0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角
abb，则椭圆的离心率为 31112 A. B. C. D.
4323形，该三角形内切圆的半径为
10.在四面体S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是?该四面体外接球的表面积是
A.86? B.6? C.24? D.6?
3，则3?log5?1?x?,(x＜1)f(x)??f(x)?a,?a?R?211.已知函数实根个数不可能为 ??(x?2)?2,(x?1),则关于x的方程
A.2 B.3 C.4 D.5 12.函数f(x)?Asin(2x??)(???2,A＞0)部分图像如图所示，且f(a)?f(b)?0，对不同的
x1,x2??a,b?，若f(x1)?f(x2)，有f(x1?x2)?3，则
5??,)上是减函数 12125??B.f(x)在(?,)上是增函数
1212?5? C.f(x)在(,)上是减函数
36A.f(x)在(?·2·
D.f(x)在(?5?3,6)上是增函数
第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 13.(1?)(1?x)4的展开式中x2项的系数为_______.
1xy214.已知抛物线y?2px(p＞0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，双曲线x??1的左顶点为
a22A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=_______.
15.如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=_______m.
x2?1x16.设函数f(x)?，g(x)?x，对任意x1,x2?(0,??)，不等式
xeg(x1)f(x2)恒成立，则正数k的取值范围是________. ?kk?1三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（本小题满分12分）
中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%． （1）求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式（注：2016年为第一年）； （2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)10≈0.9） 18.（本小题满分12分）
如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN⊥平面ABCD？若存在， 请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角D-PE-A的余弦值.
19.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 （1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示： X1 5 6 ·3·
7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望． （3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性．
x2y220.（本小题满分12分）已知椭圆C:2?2?1(a＞b＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等
ab边三角形，直线3x?4y?6?0与圆x?(y?b)?a相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值.
21.（本小题满分12分）已知函数f(x)?a(x?1)(e?a)(常数a?R且a?0). （1）证明：当a＞0时，函数f(x)有且只有一个极值点；
x22244且. 0＜f(x)＜2e2e2 请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。
（2）若函数f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：0＜f(x1)＜22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图 A、B、C、D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上． （Ⅰ）若
EC1ED1DC的值； ?,?,求
EB3EA2AB2 （Ⅱ）若EF?FA?FB，证明：EF∥CD．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l
·4·