由Rt△EPQ知PQ=sin??r.

∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R.

∴PK=BK.

利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.

说明 在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB=AC.

例8 在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁

切圆半径，p表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 证明 设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：

p(p-c)=(p-a)(p-b).

11

∵p(p-c)= 2 (a+b+c)·2(a+b-c) 1

=[(a+b)2-c2]

41

=ab；

2

11

(p-a)(p-b)= 2(-a+b+c)·2(a-b+c) 11

=4[c2-(a-b)2]= 2ab.

∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形，可得 ra=AF-AC=p-b， rb=BG-BC=p-a， rc=CK=p.

1

而r=(a+b-c)=p-c.

2

∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证.

例9 M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，

q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明证明 对任意△A'B'C'，由正弦定理可知

O3OrEBO1rcKAO2rbraCr1rr·2=.(IMO-12) q1q2qC'OA'..ED.B'A'

2B'sinA'2 =A'B'··sin 2sin?A'O'B'A'B'sin?sin22， =A'B'·

A'?B'sin2OD=OA'·sin

- 5 -

O'A'B'cos22. O'E= A'B'·

A'?B'sin2ODA'B'?tgtg. ∴

O'E22cos亦即有

r1rA?CMA?CNBBtgtg ·2=tgtg2222q1q2 =tgABrtg=. 22q例10 锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离

和为d重，垂心到三边距离和为d垂.

A求证：1·d垂+2·d外=3·d重.

证明 设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B， H3G3O2O3C. 易知d外=OO1+OO2+OO3

G2H2=cosA+cosB+cosC， OGI ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①

BCO1G1H1 ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ② ∴

BH=2，

sin?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③，

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.

即可.

说明 本题用了三角法。

情景再现 5.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)

6．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿大数学奥林匹克训练题)

7．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB. 求证：OI丄DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题)

习题17

1．在△ABC中，∠A是钝角，H是垂心，且AH=BC，则cos∠BHC=( )

1131

A．－22 B．22 C．3 D．2 - 6 -

2．如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的( )

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心(1996年全国初中联赛) 3．(1997年安徽省初中数学竞赛)若0°

11

A．2a B．22a C．a D．2a

5．下面三个命题中：

⑴ 设H为ΔABC的高AD上一点，∠BHC+∠BAC=180?，则点H是ΔABC的垂心； ⑵ 设G为ΔABC的中线AD上一点，且SΔAGB=SΔBGC，则点G是ΔABC的重心； ⑶ 设E是ΔABC的外角∠BAK的角平分线与ΔABC的外接圆⊙O的交

A点，ED是⊙O的直径，I在线段AD上，且DI=DB，则I是ΔABC的内心．

正确命题的个数是( ) F A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 HE

6．设ΔABC的∠A=60?，求证：ΔABC的外心O、内心I、垂心H及点B、

BCDC五点在同一个圆上．

DC7．已知P是□ABCD内的一点，O为AC与BD的交点，M、N分别为PB、PNQPC中点，Q为AN与DM的交点．求证：

MO ⑴ P、Q、O三点在一条直线上；

⑵ PQ=2OQ．

AB

8.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，

B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)

9.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)

10.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)

11.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形. 12.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7) A本节“情景再现”解答

1．证明 如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所

NM以△AMG的面积=△GBM的面积，△GAN的面积=△GNC的面G积,

即四边形GMAN和△GBC的面积相等． CB

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1

sin?cos?

4．ΔABC中，∠A=45?，BC=a，高BE、CF交于点H，则AH=( )

AIrORBA2．证明 如图，O为ΔABC的外心，H为垂心， 连CO交ΔABC外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，HKND又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH， 从而四边形DAHB为平行四边形。

O又显然DB=2OM，所以AH=2OM． BM 同理可证 BH=2ON，CH=2OK．证毕．

3．提示：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，

作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1， 1

同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K

2111

=2 (∠O2O1S+∠SO1K)= 2 (∠O2O1S+∠PO1O2)= 2∠PO1S=∠A；

C 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

4．提示：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△'.G为重心，连DE到H，

使EH=DE，连HC，HF，则△'就是△HCF.

(1)a2，b2，c2成等差数列?△∽△'.若△ABC为正三角形，易证△∽△'.不妨设a≥b≥c，有

CF=

1112a2?2b2?c2，BE=2c2?2a2?b2，AD=2b2?2c2?a2. 222 将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=

333a，BE=b，AD=c. 222 ∴CF:BE:AD =

333a:b:c=a:b:c. 故有△∽△′. 222 (2)△∽△′?a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时， △′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴

S?'CF2

＝().

aS?S?33”，有'=. 4S?4 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

CF23 ∴2=?3a2=4CF2=2a2+b2-c2?a2+c2=2b2.

4a5.证明 连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.

从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC. A 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 F..不等式有： BQErdos BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. IPES ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)

≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF. CD I就是一点两心.

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6．提示：设AM为高亦为中线，取AC中点

F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设 CD交AM于G，G必为△ABC重心. 连GE，MF，MF交DC于K.易证：

DG:GK=

AEGOBKCDF111DC:(?)DC=2:1. 323 ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF.

∵OD丄AB，MF∥AB，

∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心. 易证OE丄CD.

7．提示：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，

A∠AID=∠AIB=∠EIB.

I 利用内心张角公式，有 1

∠AIB=90°+2∠C=105°，

BD30°CFOEK111

∴∠DIE=360°-105°×3=45°. ∵∠AKB=30°+2∠DAO=30°+2 (∠BAC-∠BAO)=30°+2 (∠

1

BAC-60°)=2∠BAC=∠BAI=∠BEI.

∴AK∥IE. 由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.

习题17解答

1． B；2．A；3．A；4．C；5．选B，只有（3）是对的；

6．略；7．略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H的轨迹是一条线段.

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