第17讲 三角形的五心
三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．
A三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．
1、三角形的外心
三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． OBC锐角三角形的外心在三角形内；
直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． A2、三角形的内心
M三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．
FE三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．
KI内切圆半径r的计算：
1S
设三角形面积为S，并记p=(a+b+c)，则r=．
2p1
特别的，在直角三角形中,有 r =2(a+b－c)．
3、三角形的重心
B三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．
上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．
4、三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
5、三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．
每个三角形都有三个旁切圆．
A类例题 例1 证明重心定理。
证法1 如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然
∥1BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF． EF =2
又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE
上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合． 即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．
证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连
EF、FH、HI、IE， F∥1BC，HI =∥1BC， 因为EF =22
所以 EFHI为平行四边形．
所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．
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BDBDHAFGDECCABFDCEIaAFGCEAEGICDHB同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点． 即定理证毕． 链接 证明外心、内心定理是很容易的。 外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心． B 内心定理的证明：如图，设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点． 上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成． BAOCAMIDHEKCF 例2证明垂心定理 分析 我们可以利用构造外心来进行证明。 证明 如图，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA'B'C'，显然AD为B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证． C'FAEB'BDCA'链接 （1）对于三线共点问题还可以利用Ceva定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。（Ceva定理）设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直AZBXCY线交于一点的充要条件是ZB·XC·YA=1． （2）对于三角形的五心，还可以推广到n边形，例如，如果我们称n（≥3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n边形的各条中线(若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。
情景再现
1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．
2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍． B
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AMNGCB类例题 例3 过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.
作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析 分析点M和N的性质，即能得到解题思路。 AP'证明 由已知可得MP'=MP=MB，NP'=NP=NC， N故点M是△P'BP的外心，点N是△P'PC的外心.于是有
M11
∠BP'P=2∠BMP=2∠BAC， BP11
∠PP'C=∠PNC=∠BAC.
22
∴∠BP'C=∠BP'P+∠P'PC=∠BAC.
从而，P'点与A、B、C共圆，即P'在△ABC外接圆上.
链接 本题可以引出更多结论，例如P'P平分∠BP'C、P'B:P'C=BP:PC等等． C例4 AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.
A证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.
A'F'(第26届莫斯科数学奥林匹克) EFG证明 设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，FE'D'分别作该直线的垂线，垂足为A'，C'，D'，E'，F'. BCC'D 易证AA'=2DD'，CC'=2FF'，2EE'=AA'+CC'， P ∴EE'=DD'+FF'.
有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例5 设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 证明 连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知[来源:www.shulihua.net]
A2H1 =2R?A2H1=2Rcos∠A3A2A4；
sin?A2A3H1 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. 但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2. ∥A1H2， 易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 =A2H1A1O.H2A4A3∥A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称. 故得H1H2 = 同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与
四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了. 链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如： （1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）三角形的外心到三顶点的距离相等； （3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （4）三角形的内心、旁心到三边距离相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． - 3 -
情景再现
3．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.
证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似. (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.
C类例题 例6 H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，
DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.
求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析 只须证明AA1=BB1=CC1即可. B2C1A证明 设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r. 连HA1，AH交EF于M. AA
222222 =AM+AM=AM+r-MH11A1BFH2MEA2CHDC2H1=r2+(AM2-MH2)， ①
11
又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2
22
=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2
2
=cosA·bc-AH， ② 而
B1AH=2R?AH2=4R2cos2A,
sin?ABHa=2R?a2=4R2sin2A. sinA∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③ 由①、②、③有 AA221=r+
b2?c2?a2·bc-(4R2-a2)
2bc1
=2 (a2+b2+c2)-4R2+r2. 同理，BB1=
1
21222
(a+b+c)-4R2+r2， 2CC12=2 (a2+b2+c2)-4R2+r2.
故有AA1=BB1=CC1.
例7 已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.(B·波
拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) ︵
证明 如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ= ∵QK·AQ=MQ·QN， ∴QK=
MREOBNKrααPQFCr. sin?AMQ?QN
AQ(2R?r)?r ==sin??(2R?r).
r/sin?- 4 -