数学建模

§10 药物在体内的分布与排除

药物进入机体后，在随血液输送到各器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外。药物在血液中的浓度??gmv?称血药浓度。血药浓度的大小直接影响到药物的疗效，浓度太低不能达到预期的治疗效果，浓度太高又可能导致中毒、副作用太强或造成浪费。因此研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程，对于新药研制时剂量的确定、给药方案设计等药理学和临床医学的发展具有重要的指导意义和实用价值。

为了研究目的，将一个机体划分成若干个房室，每个房室是机体的一部分，比如中心室和周边室。在一个房室内药物呈均匀分布，而在不同的房室之间按一定规律进行转移。如果要求的精度不是太高的情况下，可以只考虑一室模型。

模型假设 1.药物进入机体后，全部进入中心室（血液较丰富的心、肺、肾等器官和组织），

中心室的容积在给药过程中保持不变。

2.药物从中心室排出体外，与排除的数量相比，药物的吸收可以忽略。 3.药物排除的速率与中心室的血药浓度成正比。

模型构成与求解

中心室 记f0?t? 给药速率

f0(t) 给药 k 排除 c(t),x(t) V c?t? 中心室血药浓度

x?t? 中心室药量

V 中心室容积 k 排除速率系数

一、求解各种给药方式下血药浓度变化情况 上述各量间有关系 x?f0?t??kx 即 x?kx?f0?t? 又 x?t??Vc?t? 得方程 c?t??kc?t??1、 快速静脉注射

设给药量D,则初始条件c?0??（1）的解为 c?t??

数学建模

???f0?t? （1） Vc?t? c0D，f0?t??0 VD?kt0 e （2） t

V数学建模

2、恒速静脉注射

设持续时间为?，注射速率为k0，则有

f0?t??k0，初始条件c?0??0，?0?t??? f0?t??0，c????k0?1?e?k??，?t??? Vkc(t) ?k0?kt??1?e0?t??0 ?Vk（1）的解为 c?t??? （3） ?

k?0?1?e?k??e?k?t???t??Vk?

3、口服或肌肉注射

在药物输入中心室之前先有一个将药物吸收入血液的过程，可以看作为有一个吸收室，药物由吸收室进入中心室，药物由吸收室进入中心室的转移速率系数记成k1，给药量D，吸收室药量x0?t?，则

t

吸收室 f0?t??k1x0?t? 中心室 x0?t? ???x0?t???k1x0?kt ? x0?t??De1 ???x0?0??Dc?t?于是f0?t??k1De c?t???k1t，初始条件c?0??0，（1）的解为

k1De?kt?e?k1tV?k1?k???，?k1?k? （4） 0 t

二、各种给药方式下参数估计 1、快速静脉注射下估计k

在t?0时刻快速注射剂量为D的药物后，在一系列时刻ti ?i?1,2,?,n?

从中心室取血样获得血药浓度c?ti?。由（2）式反解出几个k?ti?，取算术平均值就得到k的估计值：

1nk??k?ti?

ni?1

2、恒速静脉滴注下估计k

数学建模

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方法与1类似，ti取在?0,??内，用（3）中第一式反解ki?ti?

3、口服或肌肉注射下估计k和k1 因为k1?k，记A?k1D，于是当t充分大时（4）近似为

V?k1?k?c?t??Ae?kt

或 lnc?t??lnA?kt

对于适当大的ti和测得的相应c?ti?，用最小二乘法估计出k和lnA，从而再由

A?就可以估计出

k1D

V?k1?k?AVk

AV?Dk1?

模型分析 当要求精度较高时,可采用二室甚至多室模型,例如二室模型图示如下，这时的机理分析和参数估计都比一室模型难度更大,需要建立微分方程组来进行分析。

k12 中心室 周边室 ft 0c1?t?,x1?t?c2?t?,x2?t? 给药 VV 12k 21

k13

排除

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