二、填空题（共7小空，每小空3分，共21分）

1. -1 ；

1(5x?3)。 2.?(x?2)， 3.x3?3x2?4。 224. a13a21?a11a23，?a13a21?a11a23。 5.n(n?1)。

三、计算题（共3小题，每小题10分，共30分）

1.解一：利用各列的元素之和相同，提取公因式。

x?(n?1)ax?(n?1)a?x?(n?1)aDrax?an1?r2???rn???? aa?x11?1 ?[x?(n?1)a]ax?a???? aa?x1ci?c1(i?2,?,n)[x?(n?1)a]x?a0?? x?a?(x?a)n?1[x?(n?1)a]。 xaa?aa?xx?a解二： Dnri?r1(i?2,?,n)?x?a ??a?xx?ax?(n?1)aa?a cx?a?1?ci(i?2,?,n)?? x?a?(x?a)n?1[x?(n?1)a]。

《高等代数》试卷（A卷） （4分）

（6分）

（8分）

（10分） （4分）

（8分） （10分）

第5页 共4页

2. 解：对增广矩阵B施行初等行变换，把B变成行阶梯型：

11?11??12?12???????0?1a1?。 （2分） ?23a?23???1a?24??00a2?2a?3a?1?????当a2?2a?3?0时，a?3或a??1。 （4分） 当a??1时，R(A)?R(B)?3,故方程组有无穷解。 （5分）

?10?13????x1?x3?3对应的行最简形矩阵为?011?1?，对应的齐次线性方程组为?，

x??x?13?2?0000???取x3?k，则x1?k?3；x2??k?1。 （8分）

当a?3时，R(A)?R(B)，故方程组无解。 （9分）

当a?3且a??1时，方程组有唯一解。 （10分）

3.在有理数域上分解多项式f(x)?x4?5x3?6x2?4x?8。

?2，?4，?8， （2分） 解：所有可能的根是?1，f(1)?14?5?13?6?12?4?1?8?0 （4分） f(?1)?14?5?(?1)3?6?12?4?(?1)?8??2。 （5分）

f(?1)f(?1)f(?1)f(?1)f(?1),,,,都不是整数。所以可能的根是-2， （7分） 1?21?41?41?81?8

f(?2)?(?2)4?5?(?2)3?6?(?2)2?4?(?2)?8?0。 （8分）

所以多项式的根是1和-2，且-2是重根。 （9分）

因此x4?5x3?6x2?4x?8?(x?2)3(x?1) （10分）

《高等代数》试卷（A卷） 第6页 共4页

四、证明题

1.

证明：如果(f(x),g(x))?d(x)，则存在u(x),v(x)?F(x)，使得

u(x)f(x)?v(x)g(x)?d(x)， （2分）

因为f(x)和g(x)不全为零，所以d(x)不为零。 （3分） 因为f(x)?d(x)f1(x)，g(x)?d(x)g1(x)，可得u(x)f1(x)?v(x)g1(x)?1。 （5分） 所以(f1(x),g1(x))?1。 （6分） 反过来，如果(f1(x),g1(x))?1，则存在u(x),v(x)?F(x)，使得 u(x)f1(x)?v(x)g1(x)?1， （8分）因此，u(x)f(x)?v(x)g(x)?d(x)。 （9分） 又因为d(x)是f(x)和g(x)的因式，所以d(x)是f(x)和g(x)的一个最大公因式。

(11分)

2.

证明：反证法：如果f(x)有整数根?， (2分) 则f(x)?(x??)g(x)，这里g(x)是一个整系数多项式， (4分) 则f(0)???g(0)；f(1)?(1??)g(1)。 (6分) 因为g(0)和g(1)都是整数， (8分)

而??和1??一定有一个是偶数，这与f(0)和f(1)都是奇数产生矛盾。(10分)

3．

证明：用反证法,如果D?0, (2分) 则秩A?n?1， (4分) 但A仅有n列，秩A?n, (6分)

《高等代数》试卷（A卷） 第7页 共4页

从而秩A?秩A,这与方程组有解矛盾。 (8分) 条件不是充分的，

113?x1?x2?3?例如：线性方程组?2x1?2x2?6。虽然有226?0，但方程组无解。(10分)

??x1?x2?5115

《高等代数》试卷（A卷） 第8页 共4页