新师大高代期末试题及答案A

新疆师范大学

数学科学学院 2013-2014学年第一学期考试试卷

《高等代数》试卷(A卷)

专业 数学与应用数学 班级 2013-1 2 姓名 学号

题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分 一、判断题(共6小题,每小题3分,共18分)

1.设A是一切实数构成的集合, 规则(a,b)?a是集合A的代数运算。( ) b2.在六阶行列式的展开式中,项a22a16a34a53a61a45取“-”号。 ( )

3.零多项式能被任意多项式整除。 ( )

4.任意一个次数大于零的多项式在实数域上一定有根。 ( ) 5.多项式f(x1,x2,x3,x4)?x1?x2?x3?x4是一个对称多项式。 ( ) 6.若含有n个未知量n个方程的线性方程组系数行列式不等于零,则方程组只有惟一解。 ( )

2222

二、填空题(共7小空,每小空3分,共21分)

1.多项式f(x)?2x4?x3?2x?1在有理数域上的根是 ; 。 2.求一个次数小于3的多项式f(x)= ,使得f(1)??3,

f(?2)?0,f(?1)?4。

3.设3次多项式f(x)的根为1和二重根-2,则f(x)= 。

a114. 三阶行列式 a21a31a12a22a32a13a23中(3,2)元a32的余子式是 ,代数a33余子式是 。

5.排列1 3 ...(2n-1) (2n) (2n-2) ...2的反序数是 。

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三、计算题(共3小题,每小题10分,共30分)

xa?aax?a1.计算n阶行列式Dn?

????aa?x

?x1?2x2?x3?1,?2. a取何值时,非齐次线性方程组?2x1?3x2?(a?2)x3?3,

?x?ax?2x?4,23?1(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?当有无穷解时,求出它的解。

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3.在有理数域上分解多项式f(x)?x4?5x3?6x2?4x?8。

四、证明题

1.设f(x)?d(x)f1(x),g(x)?d(x)g1(x)。证明:若(f(x),g(x))?d(x),且f(x)和

g(x)不全为零,则(f1(x),g1(x))?1;反之,若(f1(x),g1(x))?1,则d(x)是f(x)和g(x)的一个最大公因式。 (本小题11分)

2. 设f(x)是一个整系数多项式。证明:若是f(0)和f(1)都是奇数,那么f(x)不能有整数根。 (本小题10分)

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a11x1???a1nxn?b13.证明:含有n个未知量n?1个方程的线性方程组

????an1x1???annxn?bnan?1,1x1???an?1,nxn?bn?1有解

a11?的必要条件是行列式

an1??a1n?annb1??0。这个条件不是充分的,试举一反bnbn?1an?1,1?an?1,n例。

(本小题10分)

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《高等代数》试卷(A卷)

专业 数学与应用数学 班级 2013-1 2 姓名 学号 一、判断题(共6小题,每小题3分,共18分)

1. × 2. √ 3.√ 4.× 5. √ 6. √

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