（arithmetic Operation）。小学数学中所说的“运算”通常就是指算术运算或四则运算，计算机中的运算器（Arithemetic unit）就是进行四则运算的装置。
【计算（Calculation）】
根据算式中所给的数据和运算，按照一定的程序操作，以求出运算结果的过程叫做“计算”。 【演算（Calculus）】
在小学数学中，人们常常用“演算”表示求一个算式的运算结果的操作过程。除了各种运算，“演算”还包括约分、通分之类的恒等变换，以及求最大公约数或最小公倍数，辗转相除法等操作。
在数学科学中，还用“演算”表示某种理论的体系。如命题演算（Calculus of proposition）、类演算（Calculus of classes）等。此外“Calculus”一词还用来表示“微积分学”。计算机或计算器本身则被称之为“Calculator”。
33 . “口算”、“心算”、“简算”、“速算”、“验算”有什么不同？
【口算】 不借助计算工具，直接通过思维算出得数的一种计算方法。口算既是笔算、估算和简算的基础，也是计算能力的重要组成部分。
【心算】 口算也称心算。
【简算】 即“简便计算”，又称“速算”。指的是一类快速、巧妙的计算。如
1111111?????? 2612203042561111111=(1?)?(?)?(?)???(?)
22334781=1?
87= 8
6 1 5 4 × 11 = 6 7 6 9 4 ．．
简算有多种不同的方法和不同的理论依据。它与各种计算法则所包含的“程序性操作”不同，没有常规的思维模式可套，没有现成的操作程序可循。需要有对数据的敏感和对算式整体上的洞察力和敏锐的直觉，要求人们探索和发现，以找出简算的途径。
【速算】 “简算”又称“速算”。
【验算】 式题计算或应用题解答后，为了确保结果正确，采用一定的方法核对。这种核对的过程叫做“验算”。
34 . 在数的计算中，“横式”、“竖式”、“递等式”各指什么？
【横式】 通过运算符号，把一些数字连结起来，从左往右排列的式子叫做横式。横式可以笔算，也可以口算，并把算出的得数写在等号的后面。如53+24=77，29+75－63=41。
【竖式】 把需要计算的数，写成符合规定的形式，再按运算法则进行计算。通常通过笔算进行。
12 5
+ 4 8
- 12 5 -
－ 4 8
12 5
× 4 8
25
如：
加法 减法 乘法
用竖式计算的实质是将当前对于二个数的计算归结为它们各个数位上的数的计算，以求得得数的各个数位上的数。
【递等式】 在进行混合运算时，要按运算顺序逐步计算。并用计算结果代替原式中的部分算式。用等号与原式相联。直至求出最后结果，这样的书写形式叫做递等式。如：
125+48×2 125÷（4+1） ┆ ┆ =125 + 96 =125 ÷ 5 ┆ ┆ =221 = 25
一般情况下竖式用于数目较大，数位较多的四则计算，用于口算比较困难的场合。递等式用于四则混合运算。
35 . “精确计算”、“近似计算”和“估算”的主要区别是什么？
【精确计算】 为解决实际问题而进行数值计算时，有时需要得到与实际情况完全符合的准确数，有时只需要或只能得到同准确数相差不多的近似数。如购物该付多少钱？这是需要精确计算才能回答的问题。
为了通过计算得到准确数，首先要求计算的原始数据准确无误；所用的计算公式正确表达了有关的几个数量间的关系，（而不是“近似公式”）并且计算过程中的每一步都是按相关的计算法则正确地进行的。
【近似计算】 在工程技术的计算中，所用的原始数据大多数不是准确数。许多数量都不要求完全准确，允许数据有一定的误差，只要误差不超出规定的范围就可以了。为了使计算结果的误差不超过允许的范围，计算过程必须遵守相应的规则。这就是近似计算。通过近似计算，可以得到误差不超出指定范围的近似数。
【估算】 “估算”是根据具体条件和有关知识，对事物的数量或计算的结果作出估计或大概的判断。如参加一次旅游，大概需要多少费用？这就是一个需要通过估算来解决的问题。
总之，精确计算得到的是准确数；近似计算得到的是误差不超出指定范围的近似数。如果对计算结果的误差范围也没有提出要求，那就可以用估算来解决。
36. 怎样处理好“算法多样化”与“算法系列化”之间的关系？
2001年颁布的义务教育课程标准提倡“算法多样化”和“解题策略多样化”。这对于拓宽学生的解题思路、培养思维的灵活性、发散性和创造性都是有益的。不过多种不同的算法往往反映了不同的思维水平。尽管在训练学生掌握一种算法的初期，应该允许学生达到不同的思维水平，允许学生运用他理解得最快的某种算法。但从不断提高学生的理性思维的根本目标来看，我们应该引导学生逐步掌握思维水平更高的算法，而不应该以学生主观上的“喜欢”作为选择算法的主要依据。
此外，算法或解决问题的方法往往是以学生已经掌握的某种算法或解题方法为基础的。例如，20以内退位减的“凑十法”和“破十法”都是以10以内的减法及20以内数的组成为基础的。如：
- -
26
17 － 9 = 8 17 － 9 = 8
10 7 2 7 10 1
而“算减想加”：17－9=（ ），想9+（ ）=17。因为9+（8）=17，所以17－9=（8）。则是对一年级小学生进行的一次典型的推理训练。这是根据加、减法的关系（或者说减法的意义）进行的推理，它把20以内退位减的计算归结为20以内的进位加。
许多法则的实质都是将当前有待解决的问题。转化和归结为以前已经能解决的问题。认识算法的前后联系，弄清它们根据化归思想组成的体系，似乎比单纯的“算法多样化”更重要。
37 . 36＋88＋64=36＋64＋88？根据什么来证明
常见的误解是：36+88+64=36+64+88是根据加法交换律来证明的。似乎在“36+88+64”中，将88与64交换位置，就可以得到“36+64+88”。这样的理解是错误的。
加法交换律告诉我们：“两个数相加，交换加数的位置，和不变。”四则混合运算的顺序规定：“没有括号并且只含有同一级运算的算式，从左到或依次计算”。
这就是说，（36+88）+64中的括号可以省去。也就是说，对于36+88+64应该理解为（36+88）+64。因此，在算式“36+88+64”中，与64相加的并不是88，而是36+88的和。因为88与64并不是相加的两个数。所以，不能根据加法交换律交换它们的位置。上面的等式可以证明如下：
（36+88）+64=36+（88+64） ??加法结合律
=36+（64+88） ??加法交换律 =（36+64）+88 ??加法结合律
或者，这样证明：
（36+88）+64=64+（36+88） ??加法交换律
=（64+36）+88 ??加法结合律 =（36+64）+88 ??加法交换律
38 .整数加减法、小数加减法以及分数加减法有什么相同点和不同点？
整数加减法、小数加减法以及分数加减法的意义相同，但计算法则不同。不过计算法则的理论依据又是相同的：计数单位或分数单位相同的数才能直接相加（减），所以整数或小数加减法用竖式演算时，先要将数位对齐或小数点对齐。分母不同的分数加减时要先通分，使分数单位相同。
39. 乘法在现代数学中的定义与在小学数学课本中的意义有什么不同？
【自然数的基数理论中乘法的定义】
因为自然数的加法适合结合律，所以任意b个a相加的结果与添加括号的方式无关，其唯一的结果记为
d?a?a???a?ab
b个a
称作a与b的积，记作“a×b”或“a·b”或“ab”读作“a乘以b”或“b乘a”。求积的运算叫做自然
- -
27
数的乘法。
在a×b中，a叫做被乘数，b叫乘数。被乘数与乘数也叫积的因数。“×”或“·”叫做乘号。对于数与字母或者字母与字母的乘法，乘号可以省略。
可以证明：自然数的乘法适合交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
通过补充规定a×0=0、a×1=a可以将上述乘法的定义推广到乘数是0或1的场合。 【自然数的序数理论中乘法的定义】
在自然数的序数理论中，乘法可以用求继数的运算“S”与加法“+”为基础，借助如下递推式来定义：
?a?0?0 ??a?Sb?a?b?a这样，我们就自然有a?0?0和
a?1?a?S0?a?0?a?a
【小学数学课本中乘法的意义】
有现行的小学数学教科书中，小学生先从教材创设的情境中，抽取出“几个几”的数量问题。然后列连加算式解决，继而将相同加数的连加算式改写成较为简短的乘法算式，引进新的运算“乘法”。用这样的方式解释“乘法”的意义，把“乘法”描述为“求几个相同加数的和的简便计算”，与基数理论中乘法的定义相同。
【不区分“被乘数”与“乘数”导致的后果】
对比现行小学课本中乘法的意义与基数理论中乘法的定义，可以看到以下几点差异： （1）“几个几”的求和问题与连加算式的一一对应，在基数理论与小学数学中是一致的。如 3个2的和 2＋2＋2=6 2×3=6 2个3的和 3＋3=6 3×2=6
但是，基础理论中“几个几”的求和问题与乘法算式的一一对应被破坏，相同加数的加法算式与乘法算式的一一对应也被破坏。
“3个2的和”，2＋2＋2=6 2×3=6
“2个3的和”：3＋3=6 3×2=6
损害了乘法定义应有的精确性。
（2）在基础理论的乘法定义中，“被乘数”与“乘数”既有各自的不同名称，又有它们共同的名称“积的因数”。在现行的小学数学中，不再区分被乘数与乘数。也就是在
a＋a＋?＋a
b个a
中不区分“相同的加数”与“相同加数的个数”。这样做不仅破坏了上述一一对应关系，而且使“a×b”与“b×a”意义上的差异模糊不清。于是乘法交换律
a×b= b×a
将如同“a=a”失去原有的意义要性。
- -
28