精品 2GMm4π减小，万有引力减小，故选项A错误，B正确；又2＝mr2，T＝rT4πr23GM，M增大，则T减小，故选项C错误，D正确.
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律
8.如图3所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同.已知卫星甲的公转周期为T，每经过最短时间9T，卫星乙都要运动到与卫星甲在地球同一侧且三者共线的位置上，则卫星乙的公转周期为( )
图3
9
A.T 810C.T 9答案 A
解析 由题意得， (
2π2π
－)t＝2π①
8B.T 9D.9T 10
TT乙
t＝9T②
9
联立①②得T乙＝T，选项A正确.
8【考点】卫星的“追赶”问题 【题点】卫星的“追赶”问题 考点二 天体质量和密度的计算
9.(多选)2016年10月19日凌晨，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接.如图4所示，已知“神舟十一号”与“天宫二号”对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，组合体轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转.则( )
图4
A.可求出地球的质量 B.可求出地球的平均密度
精品
C.可求出组合体做圆周运动的线速度 D.可求出组合体受到的地球的万有引力 答案 ABC
解析 组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，则角速度ω＝，万有引力提供组合体做圆周
θtGMmω2r3θ2r32
运动的向心力，则2＝mωr，所以M＝＝2①，A正确.不考虑地球的自转时，组合体在地球表面的重
rGtGMm力等于地球对组合体的万有引力，则mg＝G2，解得R＝
R3GMMM3Mg2，地球的密度ρ＝＝＝()，将①gV434πGMπR3
式代入即可求出平均密度，B正确.根据线速度与角速度的关系v＝ωr可知v＝的质量，所以不能求出组合体受到的万有引力，D错误. 【考点】天体质量和密度的计算 【题点】天体质量和密度的计算
θr，C正确.由于不知道组合体t10.(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，引力常量为G.则下列说法中正确的是( ) 2hv0
A.月球表面的重力加速度g月＝2
2
L2hRv0
B.月球的质量m月＝2
22
GL2πRC.月球的自转周期T＝
v0
3hv0D.月球的平均密度ρ＝2
2πGL答案 AB
12hv0mm月2hRv0
解析 根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝2，选项A正确；由mg月＝G2解得m月＝，
2LRGL2选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝
4πR3项D错误.
【考点】天体质量和密度的计算 【题点】天体质量和密度的计算
11.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图5所示.已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
2
2
2
2
m月
3hv0
＝2，选2πGLR3
2
精品
图5
l3
A. Gθt2lC. Gθt2
答案 A
l3θB.2 Gtl2
D. Gθt2
解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G2＝mωr，由以上三式可
lθθtMmr2
l3
得M＝.
Gθt2
【考点】计算天体的质量 【题点】天体质量的综合问题 二、非选择题
12.(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处.(取地球表面重力加速度g＝10m/s，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g星的大小； (2)已知该星球的半径与地球半径之比为答案 (1)2m/s (2)1∶80
解析 (1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处， 2v0
根据运动学公式可知t＝. 22
R星1M星
＝，求该星球的质量与地球质量之比. R地4M地
g
2v0
同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处，则5t＝
g星
12
根据以上两式，解得g星＝g＝2m/s
5
(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即
GMmgR2
mg＝2，所以M＝ RGM星g星R星2111由此可得，＝·2＝×2＝.
M地gR地5480
【考点】万有引力定律和力学其他问题的综合应用 【题点】重力加速度和抛体运动的综合问题
13.(天体运动规律分析)某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质量为M.现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，
精品
已知引力常量为G.
(1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为R1，忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度v1为多大？
(2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量m卫为多大？ 答案 (1)23
GM4πR2
(2)－M R1GT22
解析 (1)设离行星最近的一颗卫星的质量为m1，
Mm1v12
有G2＝m1，解得v1＝
R1R1GM. R1
(2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星质量为m2，则有 ?M＋m卫?m24πG＝m2R22 22
R2T2
4πR2解得m卫＝2－M.
23
GT2
【考点】天体运动规律分析
【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律