x1+x2+x3?7+9+11=27>10
故不定方程?没有解，即
p3=| A1?A2?A3|=0
所以，不定方程?、也即不定方程?的解的数目为：
q0=|A1?A2?A3|= p0-p1+ p2- p3=66-13+0-0=53 。
方法二：利用母函数方法 不定方程?对应的母函数是：
(1+x+x2+x3+x4+x5+x6)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10)
=(1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5+7x6+7x7+7x8+6x9+5x10+4x11+3x12+2x13+x14) (1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10)
不定方程?的解的数目为上述母函数中x10的系数： 1?1+2?1+3?1+4?1+5?1+6?1+7?1+7?1+7?1+6?1+5?1 =1+2+3+4+5+6+7+7+7+6+5 =53 。
3.23.求满足下列条件：
?x1+x2+x3=40 ??6? x1?15，5? x2?20，10? x3?25
的整数解的数目。
?
[解].(仿3.22题)方法一.利用容斥原理二，不定方程?与如下的不定方程?等价：
???x1+x2+x3=19
0? x1 ?9，0? x2 ?15，0? x3 ?15
?
??1?x1?6?(这可通过作变换??2?x2?5来实现)。
???x?103?3对应于不定方程?的不受限的不定方程为：
?x1+x2+x3=19
??x1?0，x2?0，x3?0
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?
设：X={x|x=(x1,x2 ,x3)是不定方程?的解};
A1={ x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程?的解且x1?9+1=10}; A2={ x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程?的解且x2?15+1=16}; A3={ x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程?的解且x3?15+1=16}; 因此,根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目：
?3?19?1??21??21?21?20p0=|X|=??19??=??19??=??2??=2?1=210
??????A1对应的不定方程是：
???x1+x2+x3=19 x1?10，x2?0，x3?0
??1?x1?10?令：??2?x2 (?1?0, ?2?0, ?3?0)。利用?我们得到：
???x3?3?1+?2+ ?3=( x1-10)+ x2+ x3=( x1+x2+x3)-10=19-10=9 所以不定方程?的解与下列不定方程：
??1+?2+ ?3=9 ????0, ??0, ??0
1
2
3
的解一一对应。故根据定理3.6.4.可知，不定方程?的解的数目为：
|A1|=??同理可得：
|A2|=???3?9?1??11??11?11?10??=??9??=??2??=2?1=55 9???????3?(19?16)?1??5??5?5?4???=?=?==10 ?????19?16???3??2?2?1?3?(19?16)?1??5??5?5?4??=??3??=??2??=2?1=10因此p1=|A1|+|A2|+|A3|=55+10+10=75 19?16??????|A3|=??A1?A2对应的不定方程是：
?x1+x2+x3=19
??x1?10，x2?16，x3?0
由于解若满足条件x1?10，x2?16，x3?0，则有 x1+x2+x3?10+16+0=26>19