24．解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．

∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，

∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK， ∵CB＝CA，

∴△CHB≌△AKC（AAS）， ∴AK＝CH，

∵∠CHM＝∠K＝90°， ∴MH∥AK， ∵AM＝BM，

- 29 -

∴CH＝KH， ∴AK＝KH， ∵∠K＝90°， ∴∠AHD＝45°．

②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设

∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝45°，

∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH， ∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH， ∴∠DAH＝∠ACD， ∵∠ADH＝∠CAD， ∴△ADH∽△CDA， ∴＝， ∴

＝

，

∴AD＝a，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB， ∴AM＝BM，

∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，

DH＝CH＝a．

- 30 -

在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2

， ∴x2

+（x﹣a）2＝4a2，

解得x＝

a（负根已经舍弃）．

∴BD＝AB﹣AD＝（+

）a﹣

a＝a，

∴

＝

＝

．

∵△ADH∽△CDA， ∴

＝

＝

，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，

∴tan∠ACK＝

＝，

∴∠ACH＝30°，

∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．

（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．

∵CH⊥BM，BM＝＝＝?y，

∴CH＝＝

＝?y，

∴HM＝

＝

?y，

∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ， ∴∠J＝∠CHM＝90°， ∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，

- 31 -

∴△AMJ≌△CMH（AAS）， ∴AJ＝CH＝

?y，HM＝JM＝

?y，

∵∠BHQ＝∠AHJ，

∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．

25．解：（1）如图①，过点B作BE⊥OA于点E．

在13点时，∠BOA＝30°， ∴BE＝OB＝4（cm），

∴S△OAB＝OA?BE＝×6×4＝12（cm）；

（2）如图②，过点B作BE⊥DA于点E．

2

在14点时，∠BOA＝60°，∴S△OAB＝×4∵12

＞12，

×6＝12

＝sin60°，BE＝8×

2

＝4（cm），

（cm）．

∴14点时比13点时△OAB的面积增大了；

（3）3点时（即15时）或9点时（即21时）时△OAB的面积最大，如图③④．

- 32 -