(一)直线与圆锥曲线(1)
x2y23??
1．(2018·烟台模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，点?3，?在椭圆上，过C的焦点且与长
ab2??
1
轴垂直的弦的长度为. 3(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点A(－2,0)作两条相交直线l1，l2，l1与椭圆交于P，Q两点(点P在点Q的上方)，l2与125
椭圆交于M，N两点(点M在点N的上方)，若直线l1的斜率为－，S△MAP＝S△NAQ，求直线l2的
734斜率．
93
＋＝1，??a4b解 (1)由已知得?2b1
??a＝3，2
2
2
解得a＝6，b＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y＝1.
36
(2)由题设可知：直线l1的方程为x＝－7y－2.
x2
2
x??＋y2＝1，联立?36
??x＝－7y－2，
2
2
整理得85y＋28y－32＝0.
yP＝，yQ＝－. 4
|AQ||yQ|517∴＝＝＝. |AP||yP|810
17设∠MAP＝∠QAN＝θ， 25
∵S△MAP＝S△NAQ，
34
1251
∴|AM||AP|sin θ＝×|AN||AQ|sin θ， 2342即
|AM|25|AQ|25175
＝×＝×＝. |AN|34|AP|34104
81745
1
设直线l2的方程为x＝my－2(m≠0)， 将x＝my－2代入＋y＝1，
36得(m＋36)y－4my－32＝0.① 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝
4m32
，yy＝－. 12
m2＋36m2＋36
2
2
x2
2
5
又∵y1＝－y2，
4
54m5232∴－y2＋y2＝2，－y2＝－2，
4m＋364m＋36∴y2＝－∴?－
16m1282
，y2＝， 2
m＋365(m＋36)
2
?216m?2＝128， ?
?m＋36?5?m2＋36?
2
解得m＝4，∴m＝±2，此时①式的判别式大于零． 1
故直线l2的斜率为±.
2
x2y2
2．(2018·南昌模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两焦点分别是F1(－2，0)，F2(2，0)，
ab点E?2，
??32?
?在椭圆C上． 2?
(1)求椭圆C的方程；
→→
(2)设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N，使得MP＝2PN，求以F1P为直径的圆面积的取值范围．
解 (1)由已知，得半焦距c＝2， 2a＝|EF1|＋|EF2|＝
2
9328＋＋＝42， 22
2
2
所以a＝22，所以b＝a－c＝8－2＝6， 所以椭圆C的方程是＋＝1. 86(2)设点P的坐标为(0，t)， 当直线MN斜率不存在时， 可得M，N分别是短轴的两端点， 得到t＝±
6. 3
x2y2
2
当直线MN斜率存在时，
设直线MN的方程为y＝kx＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)， →→
则由MP＝2PN得x1＝－2x2，①
y＝kx＋t，??22
联立?xy＋＝1，??86
2
2
22
得(3＋4k)x＋8ktx＋4t－24＝0，
由题意，得Δ＝64kt－4(3＋4k)(4t－24)>0， 整理得t<8k＋6， 由根与系数的关系得
2
2
2
2
2
x1＋x2＝
－8kt2， 3＋4k2
4t－24
x1·x2＝2，②
3＋4k－t＋6
由①②，消去x1，x2得k＝， 212t－8
2
2
??由?－t＋6
t<8·＋6，??12t－8
22
2
－t＋6
≥0，212t－8
2
22
解得 3 22 综上≤t<6， 3 2＋t又因为以F1P为直径的圆面积S＝π·， 4所以S的取值范围是? 2 ?2π，2π?. ? ?3? ?1??1?2 3．(2018·湘潭模拟)已知点A?－，y0?是抛物线C：x＝2py?p>?上一点，且A到C的焦点的 ?2??2? 5 距离为. 8 (1)求抛物线C的方程； (2)若P是C上一动点，且P不在直线l：y＝2x＋9y0上，l交C于E，F两点，过P作直线垂直|AM| 于x轴且交l于点M，过P作l的垂线，垂足为N.证明：＝|EF|. |AN| 2 3 12py＝，??4 (1)解 依题意得?p5 y＋??2＝8， 00 2 1p5 ∴＋＝， 8p28 12 ∵p>，∴p＝1，故抛物线C的方程为x＝2y. 2 x＝2y，??1 (2)证明 由(1)知，y0＝，联立?9 8y＝2x＋，?8? 得4x－16x－9＝0， 19 解得x1＝－，x2＝， 22 2 ?1??2?9 ∴|EF|＝1＋2?－?－??＝55. ?2?2?? 19??m??设P?m，??m≠－且m≠?， 22??2??则M的横坐标为m，易知A在l上， 2 ?1?则|AM|＝5?m＋?. ?2? 1 由题意可知直线PN的方程为y－＝－(x－m)， 229?91?2 与y＝2x＋联立可得xN＝?m＋m－?， 4?85?9?1??1?2 所以|AN|＝5??m＋m－?＋? 4?2??5?＝ 5??1?2? ??m＋2??， 5???? 2 2 m2 |AM||AM|则＝55，故＝|EF|. |AN||AN| x2y2 4．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，A，B是椭圆与 abx轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，k1k2＝－. (1)求椭圆C的离心率； →→ (2)设直线l与x轴交于点D(－3，0)，交椭圆于P，Q两点，且满足DP＝3QD，当△OPQ的面 23 4