习题四
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（提示：P(Y?k)?P(X?kX?0),对于k?1,2,?.）
13. 袋中有n把钥匙，其中只有一把能把门打开，每次抽取一把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求首次打开门时试用钥匙次数的分布律.
14. 袋中有a个白球、b个黑球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到白球停止抽取，X为抽取次数，求P(X?n).
15. 据统计，某高校在2010年上海世博会上的学生志愿者有6 000名，其中女生3 500名.现从中随机抽取100名学生前往各世博地铁站作引导员，求这些学生中女生数X的分布律.
?2x,0?x?A,16. 设随机变量X的密度函数为f(x)??试求：（1）常数A（;2）P(0?X?0.5).
0,其他,?17． 设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae(???x???)，求：（1）系数A；（2）P(0?X?1)；（3）X的分布函数.
?x?x?e2c,x?0,18． 证明：函数f(x)??c（c为正的常数）可作为一个密度函数.
?0,x?0,?2?x19. 经常往来于某两地的火车晚点的时间X（单位：min）是一个连续型随机变量，其
密度函数为
?3(25?x2),?5?x?5,? f(x)??500?0,其他.?X为负值表示火车早到了.求火车至少晚点2 min的概率.
0,x?0,?20. 设随机变量X的分布函数为F(x)??求X的密度函数，并计算?x1?(1?x)e,x?0,?P(X?1)和P(X?2).
21. 设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率. 22. 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，证明：对于a?0,b?0,a?b?1，
P(a?X?b)?b?a，并解释这个结果.
23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：min）是一随机变量，它服从??15x?1?5?e,x?0,的指数分布，其密度函数为f(x)??5某顾客在窗口等待服务，若超过10 min，他
,其它.?0?10
工程数学 概率统计简明教程（第二版）
就离开.
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率. 24. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（单位：min），
?1?e?0.2x,x?0,X的分布函数是F(x)??
其他.?0,求：（1）X的密度函数；（2）P（至多等待2 min）；（3）P（至少等待4 min）；（4）P（等
待2 min至4 min之间）；（5）P（等待至多2 min或至少4 min）.
25. 设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx(???x???)，求：（1）常数A，B；（2）P(X?1)；（3）随机变量X的密度函数.
26. 设随机变量X服从N(0,1)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X?2.2);（2）P(X?1.76);（3）P(X??0.78);（4）P(X?1.55);（5）P(X?2.5);（6）确定a，使得P(X?a)?0.99.
27. 设随机变量X服从N(?1,16)，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P(X?2.44);（2）P(X??1.5);（3）P(X??2.8);（4）P(X?4);（5）
P(?5?X?2);（6）P(X?1?1);（7）确定a，使得P(X?a)?P(X?a).
28. 设随机变量X服从正态分布N(?,?)，且二次方程t2?4t?X?0无实根的概率为
21，求?的值. 229. 某厂生产的滚珠直径X服从正态分布N(2.05,0.01)，合格品的规格规定直径为
2?0.2，求滚珠的合格率.
30. 某人上班路上所需的