十三、重叠问题
一、 知识要点：
在生活中，我们常常会碰到有关重叠的问题。什么是重叠呢？请看下面的图： A,B两个圆圈重叠放在一起，C是它们的重叠部分。
基本关系：联合体AB=A+B-C 重叠体：C=A+B-AB
对这类题目，我们要从信息入手，可以借助作图来分析，找出解题方法。 二、例题学习：
例1：老师出了两道题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一题，两道题都做对的有几人？
分析：如图所示：圆A表示做对第1题的人数，圆B表示做对第二题的，两个圆的重叠部分表示两道题都做对的人数，31人与28人的和中包含了两道题都做对的人数，一共是（32+28=59人），比40人多出（59-40=19人），这就是两道题都做对的人数。 解：31+38=59（人） 59-40=19（人）
试一试：教工运动会，参加跳绳比赛的有38人，参加踢毽子比赛的有3
9人，因病请假的有3人，如果全校教工有55人，那么既参加跳绳比赛又参加踢毽子比赛的老师有多少人？
例2：校运动会上，四个年级共有118人参加了跑步比赛。其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加，问：四年级有多少学生参加跑步比赛？
分析：在（70+65+59=194人）中，一、二、三年级的参赛人数均重复出现了两次，因此一、二、三年级的参赛人数应是总人数的一半，这样四年级的参赛人数也就可以算出来了。 解：（70+65+59）÷2=97（人）
118-97=21（人）
试一试：某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。三年级各班有多少名学生？
三、练一练：
1、有180个同学参加“六一”游园活动，其中28人要表演舞蹈，有62人要参加合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有15人，那么既不参加合唱，又不表演舞蹈的有多少人？
2、三年级一班有54人上美术课，其中2人没带笔，带油画棒的有28人，带水彩笔的有25人，两种笔都带到有多少人？
3、四年级同学参加语文、数学期终测试，有6人语文不及格，有5人数学不及格，若不及格的同学必须补考，四年级同学最少有多少同学补考？最多有多少人？
4、四年级一共有210人，一次考试中，语文得优秀的120人，数学得优秀的150人，两科都得优秀的68人，两科都没得优秀的有多少人？
5.少先队员排队去参观蝴蝶展览。从排头数起，小江是第65个；从排尾数起，张颖是第38个。张颖的后面排着小江。你知道有多少同学去看蝴蝶展吗？
6、180个小朋友平均排成两队去春游。小刚和小明在一个队里。从排头往后数，小刚说第4
9个，从排尾往前数，小明说第58个，你知道小刚和小明中间有几个人？
7、四年级四个班级要分成三大组，甲乙两组有86人，甲丙两组有103人，乙丙两组有97
人，四年级共有多少人？甲乙丙三组分别有多少人？
8、有A、B两种型号的电话机，各买一部共要270元，如果买2部A型与3部B型共要660
元。两种型号的每部各要多少钱？
9、将1-8这八个数分别填入○内，使每个小三角形三个顶点数之和等于13，并且8正好位
于大正方形的一个顶点上。
10、二（4）班50名同学上学期期末考试成绩如下：语文得100分的有37人，数学得100分的有43人，有4人语文，数学都没有得100分，语文，数学都得100分的有多少人？
11、学校第一次买了4个篮球和5个足球，共用去520元；第二次买了同样的5个篮球和4个足球，共用去533元。篮球和足球的单价各是多少元？
12如图，将边长分别为5厘米和4厘米的正方形纸片重叠一部分盖在桌面上，求两块正方形纸片盖住桌面的面积？
（王彩芬供稿）
十四、植树问题
一、 知识要点：
在日常生活中常常会遇到这样的问题：在一定长度的线段路上，每隔一定的距离种树。植树的棵树、相邻两棵之间的距离与植树的总长存在着某种数量关系，研究这种数量关系的问题被称为植树问题。 从头至尾都植树：棵数=段数+1 两端都不植树：棵数=段数-1
封闭曲线（圆、正方形、长方形??）或头和尾只种一头的植树：棵数=段数 二、学习例题：
例1：某校两幢教学大楼相距100米，现在要是两楼之间每隔5米种一棵树，需种多少棵树？ 分析：由题意可知，两幢大楼间100米长的距离，每隔5米种一棵树，一共可以分成100÷5=20（段）。由于不能紧挨两楼种树，所以种树的棵树要比段数少1. 解：100÷5-1=19（棵）
试一试：某工厂在道路一侧插彩旗，每隔4米插一面，从起点到终点共插了36面。这条路长多少米？
例2：一个湖泊周长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树，共栽多少棵树？
分析：在湖泊的周围植树，也就是在封闭的图形周围植树，由实践可知，封闭图形上植树的棵树与间隔（段）数相等，，即1800分成了多少段就栽了多少棵柳树。每两棵柳树中间一棵桃树，就是在柳树与柳树的间隔内种桃树，因为棵树=段数，所以桃树的棵树与柳树的棵树相等。这样共栽多少棵树也就能求出了。
解： 1800÷3×2=600×2=1200（棵）