下限值），该节点在下一次迭代过程中转化为PV节点；对于PV节点，则首先利用式4-29求出注入的无功功率，然后校验无功功率是否越限，如果越限则采用上限值或者下限值，下一次迭代时该节点转化为PQ节点，将求得的注入无功功率和已知的有功功率代入4-28求解下一次迭代的电压相量值。
（3）第三步：判断误差是否满足要求，用第k次迭代的结果和k-1次迭代的结果进行比较，如果其最大的误差满足事先设定的误差要求，则输出计算结果，如果不满足要求，则返回第二步继续迭代。其计算流程图如图4-5所示。
图4-5 高斯赛德尔迭代法求解电力系统潮流的计算流程图
4-3 牛顿－拉夫逊法
1. 牛顿－拉夫逊法的基本原理
先考虑一个一元非线性方程f(x)?0的求解问题，假设x0是该方程的近似解，与真实解之间的误差为?x，那么有：
f(x0??x)?0 （4-30）
将之展开成一阶泰勒级数：
f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x?0 （4-31）
可以计算出近似解x0与真实解之间的误差近似为：
?x??f(x0) （4-32）
f?(x0)
因此，可以得到这个一元非线性方程的求解步骤为：首先给定解的初值x公式4-32求出初始值的修正值?x[0][0]，然后根据
，由此可以得到该方程的新的解x[1]?x[0]??x[0]，如
[N]??。迭代计算流程如图4-6所示。 此反复叠代，直到误差满足要求?x其迭代求解过程的几何意义如图可以把上述求解一元非线性代数方程的方法推广到求解。非线性代数方程组F(X)?0 同样假定X0勒级数：
F(X0??X)其中：
图4-6 牛顿拉夫逊法计算流程
4-7所示。
图4-7 牛顿拉夫逊法的几何解释
n维非线性代数方程（如4-20可以表示为矩阵形式：
（4-33）?X，在F(X0)?J?X?0 （4-34）4-20）的X0处展开一阶泰
是该方程组的近似解，与真实解之间的误差为?
??f1??x?1??f2dF(X)J?|X?X0???x1dX????f?n???x1?f1?x2?f2?x2??fn?x2?f1??xn???f2?? （4-35） ?xn?????fn????xn??X?X?0被称为雅克比矩阵。4-34称为修正方程，修正方程可得到修正值?X：
?X??J?1F(X0) （4-36）
[0][0][0]T计算过程与一维方程的牛顿法求解类似，首先给定初值X[0]?[x1,x2,?,xn]，并
计算出在初始值处的雅克比矩阵J0，利用4-36式计算初始值的修正值
?1?X[0]??J0F(X[0])，根据这个差值可以得到修正后的解X[1]?X[0]??X[0]。如此循环
1[k]往复，在第k次叠代时，计算雅克比矩阵Jk，根据4-34计算修正值?X[k]??J?F(X)，k[k?1]?X[k]??X[k]，得到第k+1次修正后的解：X重复上述过程，直到误差满足要求为止。
可见，牛顿拉夫逊法的关键在于求解雅克比矩阵J，由于直角坐标表示和极坐标表示电
压相量的节点功率方程有所不同，因此其雅克比矩阵也有很大的差异。
2.直角坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法
仍然假设系统有N个节点，其中M个PQ节点，N-M-1个PV节点，1个平衡节点。则M个PQ节点方程为（假设1号节点至M号节点为PQ节点）：
NN??P?PSk?ek?(Gklel?Bklfl)?fk?(Gklfl?Bklel)?0 ??kl?1l?1 （4-37） ?NN??Qk?QSk?fk?(Gklel?Bklfl)?ek?(Gklfl?Bklel)?0?l?1l?1?k?1,2,?,M。
N-M-1个PV节点的方程为（假设第M+1号节点至第N-1号节点为PV节点）：
NN???Pk?PSk?ek?(Gklel?Bklfl)?fk?(Gklfl?Bklel)?0 （4-38） ?l?1l?1222? ??Vk?Vk?ek?fk?0 k?M?1,M?2,?,N?1。
其中，?Vk只代表一个函数，并非代表电压差；PSk和QSk为注入到节点k的净功率，即注入到该节点的发电功率减去该节点的负荷功率。
PQ节点的方程是有功功率和无功功率方程，PV节点方程有功功率方程和电压方程，平衡节点为参考节点，电压已知，没有方程，但其电压参与节点功率方程中计算。未知变量是除了平衡节点外的各个节点的电压相量的横分量和纵分量，共有2(N-1)个未知数，2(N-1)个方程。
其修正方程为：
??P1??N11??Q???1??M11?????????P?m??Nm,1??Qm??Mm,1??? ?????????????P??N?m?1??m?1,1??Vm?1??Rm?1,1H11L11?Hm,1Lm,1???Hm?1,1Sm?1,1????????N1mH1m|M1mL1m|??|Nm,mHm,m|Mm,mLm,m|??????|Nm?1,mHm?1,m|N1,m?1H1,m?1M1,m?1L1,m?1??Nm,m?1Hm,m?1Mm,m?1Lm,m?1??????Nm?1,m?1Hm?1,m?1??????????Rm?1,mSm?1,m|Rm?1,m?1Sm?1,m?1N1,n?1H1,n?1???e1???f?M1,n?1L1,n?1???1??????????Nm,n?1Hm,n?1???em?Mm,n?1Lm,n?1???fm??????????????? Nm?1,n?1Hm?1,n?1???em?1????Rm?1,n?1Sm?1,n?1???fm?1?????????|??????????Pn?1??Nn?1,Hn?1,1?Nn?1,mHn?1,m|Nn?1,m?1Hn?1,m?1????V??1n?1???Rn?1,1Sn?1,1?Rn?1,mSn?1,m|Rn?1,m?1Sn?1,m?1?4-39）
其中：
Nkkj???P?e??Gkjek?Bkjfk （j?k） jN???Pkn?1kk?e??Gkkek?Bkkfk?k?(Gklel?Bklfl) l?1H??Pkkj??f??Gkjfk?Bkjek （j?k） j???Pkn?1Hkk?f?Bkkek?Gkkfk?k?(Gklfl?Bklel) l?1Mkj???Qk?e??Gkjfk?Bkjek （j?k） jM???Qkn?1kk?e?Bkkek?Gkkfk?k?(Gklfl?Bklel)
l?1Lkj???Qk?f?Bkjfk?Gkjek （j?k） jL??Qkn?1kk??f?Gkkek?Bkkfk??(Gklel?Bklfl)
kl?1R??Vkkj??e?0 （j?k） j??Nn?1,n?1Hn?1,n?1Rn?1,n?1Sn?1,n?1??en?1?f?n?1??（??????????????