2021版高考数学一轮复习第十章概率第3讲几何概型教案文新人教A版

第3讲 几何概型

一、知识梳理 1.几何概型 (1)几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.

(2)几何概型的两个基本特点

2.几何概型的概率公式

P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积)

.

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

二、习题改编

1.(必修3P142A组T3改编)一个路口的红绿灯,红灯的时间为30 s,黄灯的时间为5 s,绿灯的时间为40 s,当某人到达路口时看见的是红灯的概率为 .

2答案:

5

2.(必修3P142A组T2改编)如图是某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动,当指针指向阴影区域时为中奖,则顾客中奖的概率是 .

1答案:

3

1

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.( )

(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( ) (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏

常见误区(1)易混淆几何概型与古典概型; (2)几何概型的测度选择不正确.

1.如图,在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形.往正方形内随机撒一把豆子(共m颗).落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(n

A.C.2nm B.D.

4n mn 2mn 4m解析:选B.S阴影落在L围成的区域内的豆子数n=, S正方形落在正方形中的豆子数mmn24n所以S阴影=×2=.

m2.记函数f(x)=6+x-x的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是 .

3-(-2)2

解析:由6+x-x≥0,解得-2≤x≤3,则D=[-2,3],则所求概率为=

5-(-4)5. 9

5答案: 9

2 2

与长度有关的几何概型(典例迁移)

π3

(2020·福建五校第二次联考)在区间[0,2]上随机取一个数x,使sin x≥

22

的概率为( )

1

A. 32C. 3

1B. 23D. 4

ππ3ππ2π24

【解析】 当x∈[0,2]时,0≤x≤π,所以sinx≥?≤x≤?≤x≤.

2223233342-331

故由几何概型的知识可知所求概率P==.故选A.

23

【答案】 A

【迁移探究】 (变条件)若将本例中的不等式变为sin x≤解:结合正弦曲线,在[0,π]上使sin x≤

3

,如何求概率? 2

3?π??2π?的x∈?0,?∪?,π?,

3??32??

故所求概率为P=

?π-0?+?π-2π?

?3??3?????2

π-0

=.

3

与长度有关的几何概型

(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为

P(A)=

构成事件A的区域长度

.

试验的全部结果所构成的区域长度

(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型,利用几何概型概率公式进行求解.

1.(2020·湖北武汉模拟)某路公交车在6:30,7:00,7:30,准时发车,小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车,且到达该车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率为 .

解析:小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车,总时长为40分钟,公交车在6:30,7:00,7:30准时发车,他等车时间不超过10分钟,则必须在6:50至7:00或7:

3

20至7:30之间到达,时长为20分钟,则他等车时间不超过10分钟的概率P=

1答案:

2

201=. 402

2.(2020·江西赣州十四县联考)在(0,8)上随机取一个数m,则事件“直线x+y-1=0与圆(x-3)+(y-4)=m没有公共点”发生的概率为 .

解析:因为m∈(0,8),直线x+y-1=0与圆(x-3)+(y-4)=m没有公共点,所以0

. ?|3+4-1|,解得0m?2?

32

答案:

8

与面积有关的几何概型(多维探究) 角度一 与平面图形面积有关的几何概型

(1)(2020·昆明市诊断测试)如图,先画一个正方形ABCD,再将这个正方形各

边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,得到第4个正方形EFGH(图中阴影部分),在正方形ABCD内随机取一点,则此点取自正方形EFGH内的概率是( )

2

2

2

2

2

2

1A. 41C. 8

1B. 6D.1 16

(2)(2020·江西七校第一次联考)图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥,在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )

1A. 2

1B. 3

4

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