（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550． 当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1， 当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，
当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3， 当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，
当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15， 当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05． 故Y的概率分布列为：
Y 25 75 140 220 310 410 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05 所以随机变量Y的数学期望
EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．
【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（2017?深圳一模）已成椭圆C：为
．其右顶点与上顶点的距离为
+
=1（a＞b＞0）的离心率
，过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交
于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是AB中点，且Q点的坐标为（，0），当QM⊥AB时，求直线l的方程．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）椭圆的离心率为组，求出a=
，b=
．其右顶点与上顶点的距离为
，列出方程
，由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l的斜率不存在，直线方程为x=0；若直线l的斜率存在，设其方程
，得（2+3k2）x2+12kx+6=0，由此利用根
为y=kx+2，与椭圆方程联立
的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件能求出直线l的方程． 【解答】解：（1）∵椭圆C：其右顶点与上顶点的距离为
，
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
．
∴由题意知：，解得a=，b=，
∴椭圆C的方程为：．
（2）①若直线l的斜率不存在，此时M为原点，满足QM⊥AB，∴方程为x=0；
②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线方程与椭圆方程联立
，得（2+3k2）x2+12kx+6=0，
△=72k2﹣48＞0，设M（x0，y0），则由QM⊥AB，知
， ，
，化简得3k2+5k+2=0，
，
解得k=﹣1或k=﹣，将结果代入△=72k2﹣48＞0验证，舍掉k=﹣， 此时，直线l的方程为x+y﹣2=0，
综上所述，直线l的方程为x=0或x+y﹣2=0．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要
认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用．
21．（12分）（2017?深圳一模）已知函数f（x）=（ax+1）lnx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数． （1）讨论g（x）的单调性；
（2）当a＞e时，证明：g（e﹣a）＞0；
（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由． 【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得g（x）的单调区间；
（2）由g（e﹣a）=﹣a2+ea，构造函数h（x）=﹣x2+ex，求导，当x＞e时，h′（x）＞0，函数单调递增，即可求得h（x）=﹣x2+ex＞﹣e2+ee＞0，
（3）由（1）可知，函数最小值为g（）=0，故g（x）恰有两个零点x1，x2，则可判断x1，x2是函数的极大值和极小值，由函数零点的存在定理，求得函数f（x）只有一个零点．
【解答】解：（1）对函数f（x），求导得g（x）=f′（x）=alnx+， g′（x）=﹣
=
，
①当a≤0时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上为减函数；
②当a＞0时，′（x）＞0，可得x＞，故g（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；
（2）证明：g（e﹣a）=﹣a2+ea，设h（x）=﹣x2+ex，则h′（x）=ex﹣2x， 易知当x＞e时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增， h（x）=﹣x2+ex＞﹣e2+ee＞0， ∴g（e﹣a）＞0；
（3）由（1）可知，当a＞e时，g（x）是先减再增的函数， 其最小值为g（）=aln+a=a（ln+1）＜0， 而此时g（点x1，x2，
∵当x∈（0，x1）时，f′（x）=g（x）＞0； 当x∈（x1，x2）时，f′（x）=g（x）＜0； 当x∈（x2，+∞）时， f′（x）=g（x）＞0，
∴f（x）在x1，x2两点分别取到极大值和极小值，且x1∈（0，），
）=1+
，g（e﹣a）＞0，且e﹣a＜＜
，故g（x）恰有两个零
由g（x1）=alnx1+
=0，知a=﹣， +2，
=﹣2时，lnx1=，则a=e，不合
∴f（x1）=（ax1+1）lnx1﹣ax1+3=lnx1+∵lnx1＜0，∴lnx1+题意，
≤﹣2，但当lnx1+
所以f（x1）＜0，故函数f（x）的图象与x轴不可能有两个交点． ∴函数f（x）只有一个零点．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调性及及的关系，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017?深圳一模）在直角坐标系中xOy中，曲线E的参数方程为
（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
系．
（1）写出曲线E的普通方程和极坐标方程；
B两点，（2）若直线l与曲线E相交于点A、且OA⊥OB，求证：为定值，并求出这个定值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）曲线E的参数方程消去参数，能求出曲线E的普通方程，进而能求出曲线E的极坐标方程．
（2）不妨设设点A，B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B（
），从而 +
得到，由此能证明（定值）．
【解答】解：（1）∵曲线E的参数方程为∴消去参数得曲线E的普通方程为
，
（α为参数），