(2) 对于渐近稳定的平衡状态，则Lyapunov函数必存在。
(3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。
(4) 我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。
?(x,t)必须是负定函数。如果在V?(x,t)上显然，定理3.1仍有一些限制条件，比如V?(x,t)均不恒等于零，则要求V?(x,t)附加一个限制条件，即除了原点以外，沿任一轨迹V?(x,t)取负半定的条件来代替。 负定的条件可用V定理 3.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考虑如下非线性系统
?(t)?f(x(t),t) x式中
f(0,t)?0, 对所有t?t0
若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t)，且满足以下条件： 1、V(x,t)是正定的； 2、V(x,t)是负半定的；
?[?(t;x,t),t]对于任意t和任意x?0，在t?t时，不恒等于零，其中的3、V00000?(t;x0,t0)表示在t0时从x0出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳
定的。
?(x,t)不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定曲注意，若V?[?(t;x,t),t]对任意t和任意x?0，在t?t时不恒等面V(x,t)=C相切，然而由于V00000?(x,t)=0），因而必然要运动到原于零，所以典型点就不可能保持在切点处（在这点上，V点。
2、关于稳定性
?(x,t)始终为零，则系统可以保然而，如果存在一个正定的纯量函数V(x,t)，使得V持在一个极限环上。在这种情况下，原点处的平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。 定理 3.3 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统
?(t)?f(x(t),t) x式中
f(0,t)?0, 对所有t?t0
若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t)，且满足以下条件： 1、V(x,t)是正定的； 2、V(x,t)是负半定的；
?[?(t;x,t),t]对于任意t和任意x?0，在t?t时，均恒等于零，其中的3、V00000?(t;x0,t0)表示在t0时从x0出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是Lyapunov意
义下的大范围渐近稳定的。
3、关于不稳定性
如果系统平衡状态x =0是不稳定的，则存在纯量函数W(x,t)，可用其确定平衡状
态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理。 定理3.4 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统
?(t)?f(x(t),t) x式中
f(0,t)?0, 对所有t?t0
若存在一个纯量函数W(x,t)，具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： 1、W(x,t)在原点附近的某一邻域内是正定的；
?(x,t)在同样的邻域内是正定的。 2、W则原点处的平衡状态是不稳定的。
3.3.5 线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较
在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的，然
而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。
如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够。必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于Lyapunov第二法的方法可达到这一目的，包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法、用于构成非线性系统Lyapunov函数的Schultz-Gibson变量梯度法、用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure’)法，以及用于构成吸引域的波波夫方法等。下面仅讨论克拉索夫斯基方法。
3.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
3.4.1 概述
如前所述，Lyapunov第二法不仅对非线性系统，而且对线性定常系统、线性时变系统，以及线性离散系统等均完全适用。
利用Lyapunov第二法对线性系统进行分析，有如下几个特点： (1) 都是充要条件，而非仅充分条件；
(2) 渐近稳定性等价于Lyapunov方程的存在性；
?(x)??xQx； (3)渐近稳定时，必存在二次型Lyapunov函数V(x)?xPx及VHH(4) 对于线性自治系统，当系统矩阵A非奇异时，仅有唯一平衡点，即原点xe?0； (5) 渐近稳定就是大范围渐近稳定，两者完全等价。
众所周知，对于线性定常系统，其渐近稳定性的判别方法很多。例如，对于连续时间定常系统x??Ax，渐近稳定的充要条件是：A的所有特征值均有负实部，或者相应的特征方程sI?A?sn?a1sn?1???an?1s?an?0的根具有负实部。但为了避开困难的特征值计算，如Routh-Hurwitz稳定性判据通过判断特征多项式的系数来直接判定稳定性，Nyquist稳定性判据根据开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。这里将介绍的线性系统的Lyapunov稳定性方法，也是一种代数方法，也不要求把特征多项式进行因式分解，而且可进一步应用于求解某些最优控制问题。
3.4.2 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
考虑如下线性定常自治系统
??Ax x式中，x?R,A?Rnn?n(3.3)
。假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态xe?0，其平衡状
态的稳定性很容易通过Lyapunov第二法进行研究。
对于式(5.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即
V(x)?xHPx
式中P为正定Hermite矩阵（如果x是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。
V(x)沿任一轨迹的时间导数为
?(x)?x?HPx?xHPx?V?(Ax)HPx?xHPAx?xAPx?xPAx?xH(AHP?PA)x?(x)为负定的，因此必须有 由于V(x)取为正定，对于渐近稳定性，要求V?(x)??xHQx V式中
HHH
Q??(AHP?PA)
为正定矩阵。因此，对于式(3.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。为了判断n?n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
?(x)时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是在判别VAHP?PA??Q
正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由
确定的P是否也是正定的。这可归纳为如下定理。
定理3.5 线性定常系统x??Ax在平衡点xe?0处渐近稳定的充要条件是：对于?Q?0，
?P?0，满足如下Lyapunov方程
AHP?PA??Q
这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。此时，Lyapunov函数为
?(x)??xHQx V(x)?xHPx，V?(x)??xQx?0时，可取Q?0(正半定)。 特别地，当VH
现对该定理作以下几点说明：
(1) 如果系统只包含实状态向量x和实系统矩阵A，则Lyapunov函数xPx为xPx，且Lyapunov方程为
HTATP?PA??Q
?(x)??xQx沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。 (2) 如果VH?(x)沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定 (3) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果V矩阵Q，并求解矩阵方程
AHP?PA??Q
以确定P，则对于在平衡点xe?0处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。
注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件
?Q1/2??1/2?QA?rank??n
????1/2n?1???QA???(t)沿任意轨迹不恒等于零。 则V (4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。