线性系统的稳定性分析 - 图文

图3.2 (a)稳定平衡状态及一条典型轨迹

(b)渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 (c)不稳定平衡状态及一条典型轨迹

图3.2(a)、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图3.2(a)、(b)和(c)中,域S(?)制约着初始状态x0,而域S(?)是起始于x0的轨迹的边界。

注意,由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域,因而除非S(?)对应于整个状态平面,否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。

此外,在图5.2(c)中,轨迹离开了S(?),这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是因为轨迹还可能趋于在S(?)外的某个极限环(如果线性定常系统是不稳定的,则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线性系统中,这一结论并不一定正确)。

上述各定义的内容,对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析,是最低限度的要求。注意,这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上,在其他文献中还有另外的定义。

对于线性系统,渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统,一般只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定。

最后指出,在经典控制理论中,我们已经学过稳定性概念,它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的,例如,在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在Lyapunov意义下是稳定的,但却不是渐近稳定的系统,则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。

经典控制理论(线性系统) Lyapunov意义下 不稳定 (Re(s)>0) 不稳定 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 稳定 (Re(s)<0) 渐近稳定 3.3.2 李雅普诺夫第一法

李雅普诺夫第一法是通过系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的,其主要内容: (1)用一次近似表达式表达状态方程,即X?AX,假如系统矩阵Ade全部特征值具有负实部,则系统在平衡点处是稳定的,而且稳定性与高阶导数无关。

(2)如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部时,无论高阶导数的情况如何,系统在平衡点处不稳定。

(3)如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中有零特征值,系统的稳定性要有高阶导数决定。当高阶导数为零时,系统处于临界稳定状态。

.3.3.3 标量函数的正定性定义

正定性:标量函数V(x)在域S中对所有非零状态(x?0)有V(x)?0且V(0)?0,称

2是正定的。 V(x)在域S内正定。如V(x)?x12?x2负定性:标量函数V(x)在域S中对所有非零x有V(x)?0且V(0)?0,称V(x)在域S内负定。如V(x)??(x1?x2)是负定的。如果V(x)是负定的,-V(x)则一定是正定

的。

负(正)半定性:V(0)?0,且V(x)在域S内某些状态处有V(x)?0,而其它状态处均有V(x)?0(V(x)?0),则称V(x)在域S内负(正)半定。设V(x)为负半定,则

22?V(x)为正半定。如V(x)??(x1?2x2)2为正半定。

不定性:V(x)在域S内可正可负,则称V(x)不定。如V(x)?x1x2是不定的。 关于V(x,t)正定性的提法是:标量函数V(x,t)在域S中,对于t?t0及所有非零状态有V(x,t)?0,且V(0,t)?0,则称V(x,t)在域S内正定。V(x,t)的其它定号性提法类同。

二次型函数是一类重要的标量函数,记

V(x)?xTPx??x1?p11?p1n??x1????? (1)

?xn??????????pn1?pnn????xn??其中,P为对称矩阵,有pij?pji。显然满足V(x)?0,其定号性由赛尔维斯特准则判定。当P的各顺序主子行列式均大于零时,即

p11?0,p11p21p12?0,p22p11,pn1p11,(?1)npn1p1n?0 (2) pnnp1n?0 (3) pnnP为正定矩阵,则V(x)正定。当P的各顺序主子行列式负、正相间时,即

p11?0,p11p21p12?0,p22P为负定矩阵,则V(x)负定。若主子行列式含有等于零的情况,则V(x)为正半定或

负半定。不属以上所有情况的V(x)不定。

3.3.4 李雅普诺夫第二法

由力学经典理论可知,对于一个振动系统,当系统总能量(正定函数)连续减小

(这意味着总能量对时间的导数必然是负定的),直到平衡状态时为止,则振则系统是稳定的。

Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的,即:如果系统有一个渐近稳定的平衡状态,则当其运动到平衡状态的吸引域内时,系统存储的能量随着时间的增长而衰减,直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统,毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难,Lyapunov引出了一个虚构的能量函数,称为Lyapunov函数。当然,这个函数无疑比能量更为一般,并且其应用也更广泛。实际上,任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件,都可作为Lyapunov函数。

Lyapunov函数与x1,x2,?,xn和t有关,我们用V(x1,x2,?,xn,t)或者V(x,t)来表示Lyapunov函数。如果在Lyapunov函数中不含t,则用V(x1,x2,?,xn)或V(x)表示。在

?(x,t)?dV(x,t)/dt的符号特征,提供了Lyapunov第二法中,V(x,t)和其对时间的导数V判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则,而不必直接求出方程的解(这种方法既适用于线性系统,也适用于非线性系统)。

1、关于渐近稳定性

可以证明:如果x为n维向量,且其纯量函数V(x)正定,则满足

V(x)?C

的状态x处于n维状态空间的封闭超曲面上,且至少处于原点附近,式中C是正常数。随着x??,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果C1?C2,则超曲面V(x)?C1完全处于超曲面V(x)?C2的内部。

对于给定的系统,若可求得正定的纯量函数V(x),并使其沿轨迹对时间的导数总

为负值,则随着时间的增加,V(x)将取越来越小的C值。随着时间的进一步增长,最终

V(x)变为零,而x也趋于零。这意味着,状态空间的原点是渐近稳定的。Lyapunov主稳

定性定理就是前述事实的普遍化,它给出了渐近稳定的充要条件。该定理阐述如下: 定理3.1 (Lyapunov, 皮尔希德斯基,巴巴辛,克拉索夫斯基) 考虑如下非线性系统

?(t)?f(x(t),t) x式中

f(0,t)?0, 对所有t?t0

如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t),且满足以下条件: 1、V(x,t)正定; 2、V(x,t)负定

则在原点处的平衡状态是(一致)渐近稳定的。

进一步,若x??,V(x,t)??,则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳

定的。

------------------------------------------------------------------ 例3.3 考虑如下非线性系统

2?1?x2?x1(x12?x2x)?2??x1?x2(x?x)x如果定义一个正定纯量函数V(x)

2122

显然原点(x1?0,x2?0)是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。

22?1?2x2x?2?2(x12?x2V(x)?2x1x)

是负定的,这说明V(x)沿任一轨迹连续地减小,因此V(x)是一个Lyapunov函数。由于

V(x)随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷,则按照定理5.1,该系统在原点处的平衡状

态是大范围渐近稳定的。

注意,若使V(x)取一系列的常值0,C1,C2,?(0?C1?C2??),则V(x)=0

对应于状态平面的原点,而V(x)?C1,V(x)?C2,…,描述了包围状态平面原点的互不相交的一簇圆,如图3.2所示。还应注意,由于V(x)在径向是无界的,即随着

x??,V(x)??,所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。

由于圆V(x)?Ck完全处在V(x)?Ck?1的内部,所以典型轨迹从外向里通过V圆的边界。因此Lyapunov函数的几何意义可阐述如下V(x)表示状态x到状态空间原点距离的一种度

?(x(t))?0),则量。如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随t的增加而连续地减小(即Vx(t)?0。

图3.2 常数V圆和典型轨迹

------------------------------------------------------------------

定理3.1是Lyapunov第二法的基本定理,下面对这一重要定理作几点说明。 (1) 这里仅给出了充分条件,也就是说,如果我们构造出了Lyapunov函数V(x,t),那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数,我们并不能给出任何结论,例如我们不能据此说该系统是不稳定的。

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)