图3.2 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹
（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
图3.2（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图3.2(a)、(b)和(c)中，域S（?）制约着初始状态x0，而域S(?）是起始于x0的轨迹的边界。
注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S(?)对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。
此外，在图5.2（c）中，轨迹离开了S(?），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(?）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）。
上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析，是最低限度的要求。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上，在其他文献中还有另外的定义。
对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定。
最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。
经典控制理论(线性系统） Lyapunov意义下 不稳定 (Re(s)>0) 不稳定 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 稳定 (Re(s)<0) 渐近稳定 3.3.2 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法是通过系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的，其主要内容: (1)用一次近似表达式表达状态方程，即X?AX，假如系统矩阵Ade全部特征值具有负实部，则系统在平衡点处是稳定的，而且稳定性与高阶导数无关。
（2）如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部时，无论高阶导数的情况如何，系统在平衡点处不稳定。
（3）如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中有零特征值，系统的稳定性要有高阶导数决定。当高阶导数为零时，系统处于临界稳定状态。
.3.3.3 标量函数的正定性定义
正定性：标量函数V(x)在域S中对所有非零状态(x?0)有V(x)?0且V(0)?0，称
2是正定的。 V(x)在域S内正定。如V(x)?x12?x2负定性：标量函数V(x)在域S中对所有非零x有V(x)?0且V(0)?0，称V(x)在域S内负定。如V(x)??(x1?x2)是负定的。如果V(x)是负定的，-V(x)则一定是正定
的。
负（正）半定性：V(0)?0，且V(x)在域S内某些状态处有V(x)?0，而其它状态处均有V(x)?0（V(x)?0），则称V(x)在域S内负（正）半定。设V(x)为负半定，则
22?V(x)为正半定。如V(x)??(x1?2x2)2为正半定。
不定性：V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。如V(x)?x1x2是不定的。 关于V(x,t)正定性的提法是：标量函数V(x,t)在域S中，对于t?t0及所有非零状态有V(x,t)?0,且V(0,t)?0，则称V(x,t)在域S内正定。V(x,t)的其它定号性提法类同。
二次型函数是一类重要的标量函数，记
V(x)?xTPx??x1?p11?p1n??x1????? （1）
?xn??????????pn1?pnn????xn??其中，P为对称矩阵，有pij?pji。显然满足V(x)?0，其定号性由赛尔维斯特准则判定。当P的各顺序主子行列式均大于零时，即
p11?0,p11p21p12?0,p22p11,pn1p11,(?1)npn1p1n?0 （2） pnnp1n?0 （3） pnnP为正定矩阵，则V(x)正定。当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即
p11?0,p11p21p12?0,p22P为负定矩阵，则V(x)负定。若主子行列式含有等于零的情况，则V(x)为正半定或
负半定。不属以上所有情况的V(x)不定。
3.3.4 李雅普诺夫第二法
由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小
（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则振则系统是稳定的。
Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov引出了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数。
Lyapunov函数与x1,x2,?,xn和t有关，我们用V(x1,x2,?,xn,t)或者V(x,t)来表示Lyapunov函数。如果在Lyapunov函数中不含t,则用V(x1,x2,?,xn)或V(x)表示。在
?(x,t)?dV(x,t)/dt的符号特征，提供了Lyapunov第二法中，V(x,t)和其对时间的导数V判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。
1、关于渐近稳定性
可以证明：如果x为n维向量，且其纯量函数V(x)正定，则满足
V(x)?C
的状态x处于n维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，式中C是正常数。随着x??，上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果C1?C2，则超曲面V(x)?C1完全处于超曲面V(x)?C2的内部。
对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数V(x)，并使其沿轨迹对时间的导数总
为负值，则随着时间的增加，V(x)将取越来越小的C值。随着时间的进一步增长，最终
V(x)变为零，而x也趋于零。这意味着，状态空间的原点是渐近稳定的。Lyapunov主稳
定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定的充要条件。该定理阐述如下： 定理3.1 (Lyapunov, 皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考虑如下非线性系统
?(t)?f(x(t),t) x式中
f(0,t)?0, 对所有t?t0
如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t)，且满足以下条件： 1、V(x,t)正定； 2、V(x,t)负定
则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。
进一步，若x??，V(x,t)??，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳
定的。
------------------------------------------------------------------ 例3.3 考虑如下非线性系统
2?1?x2?x1(x12?x2x)?2??x1?x2(x?x)x如果定义一个正定纯量函数V(x)
2122
显然原点（x1?0，x2?0）是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。
22?1?2x2x?2?2(x12?x2V(x)?2x1x)
是负定的，这说明V(x)沿任一轨迹连续地减小，因此V(x)是一个Lyapunov函数。由于
V(x)随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照定理5.1，该系统在原点处的平衡状
态是大范围渐近稳定的。
注意，若使V(x)取一系列的常值0,C1,C2,?（0?C1?C2??），则V(x)=0
对应于状态平面的原点，而V(x)?C1，V(x)?C2，…，描述了包围状态平面原点的互不相交的一簇圆，如图3.2所示。还应注意，由于V(x)在径向是无界的，即随着
x??，V(x)??，所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。
由于圆V(x)?Ck完全处在V(x)?Ck?1的内部，所以典型轨迹从外向里通过V圆的边界。因此Lyapunov函数的几何意义可阐述如下V(x)表示状态x到状态空间原点距离的一种度
?(x(t))?0），则量。如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随t的增加而连续地减小（即Vx(t)?0。
图3.2 常数V圆和典型轨迹
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定理3.1是Lyapunov第二法的基本定理，下面对这一重要定理作几点说明。 (1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了Lyapunov函数V(x,t)，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。