第三章 线性系统的稳定性分析
3.1 概述
如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够
的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系
统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫
稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地
位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性
3.2.1 外部稳定：
考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u（t），即满足条件：
u(t)?k1??
的输入u（t），所产生的输出y（t）也是有界的，即使得下式成立：
y(t)?k2??
则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定。 注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则
系统的BIBO稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a) 时变情况的判定准则
对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,?)为脉冲响应矩阵，则系统BIBO稳定的充要条件是，存在一个有限常数k，使对于一切
t?[t0,?),G(t,?)的每一个元
gij(t,?)i(?1,2,q.......j?;p1有,2,.....)
?tt0gij(t,?)d??k??即，G(t,?)是绝对可积的。 b)
定常情况下的判定准则：
对于零初始条件的线性定常系统，初始时刻t0=0,G(t)为脉冲响应矩阵，G(s)为传递函数矩阵，则系统BIBO稳定的充要条件是，存在一个有限常数k，G(t)的每一个元
gij(t)(i?1,2,.......q;j?1,2,.....p)有?tt0gij(t)d??k??或者等价的：
当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个传递函数g（s）的所有零极点都具有负实部。
对于一个定常线性系统
?(t)?Ax(t)?Bu(t)x，其传递函数矩阵为：
y(t)?Cx(t)?Du(t)?(s)?C(sI?A)?1B?D?G1C[Adj(sI?A)]B?D。因此，只要满足系统的
det(sI?A)全部特征根具有负实部根，则系统是BIBO稳定的。
3.2.2 内部稳定性
对于线性定常系统X＝AX＋Bu，y＝CX＋Du如果外部输入u（t）为0，初始状态x0为任意，且由x0引起的零输入响应
.?（t；0；x0;0)满足：
lim?（t；0；x0;0)?0x??
则称系统实内部稳定的，或称为是渐进稳定的。 判定准则：
?(t)?Ax(t)，其解为x(t)?ex(0)。因此，对于上面所列的状态空间表对于系统x达，它的渐进稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值具有负实部。
At3.2.3 内部稳定性和外部稳定性之间的关系
对线性定常系统的内部稳定和外部稳定的等价关系，得出如下结论： 1. 线性定常系统是内部稳定的，则其必为BIBO稳定的。 2. 线性定常系统是BIBO稳定的，不一定就是内部稳定的。
3. 线性定常系统是能控制和能观测的，则其内部稳定性和BIBO稳定是等价的。
内部 稳定
图3.1 外部稳定与内部稳定的关系
外部 稳定 3.3 Lyapunov意义下的稳定性问题
对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，
那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。
Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最
一般的方法。反过来，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。李雅普诺夫稳定分析法是确定时变系统和非线性系统的稳定性更一般的方法，这种方法可以在无需求解状态方程的条件下，确定系统的稳定性。
3.3.1 基本概念
a) 平衡状态
忽略输入后，非线性时变系统的状态方程：
??f(x,t) 为n维状态向量；t为时间变量；f(x,t) 为n维函数），其展开式为： xxi?fi(x1,x2,,xn,t) i?1,?,n
如果对于所有t，满足
?e?f(xe,t)?0 x的状态xe称为平衡状态（又称为平衡点）。如果系统是线性定常的，也就是说
f(x,t)?Ax，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵
时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在x?xe）。
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动x?g(t)都可通过中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点(xe?0)处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。
??~xf(~x,t)之坐标原点，即f(0,t)?0或xe?0。在本章坐标变换，统一化为扰动方程~控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。
b) 李雅普诺夫稳定性
如果对于任意小的? > 0，均存在一个?(?,t0)?0，当初始状态满足x0?xe??时，系统运动轨迹满足limx(t;x0,t0)?xe??，则称该平衡状态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心、半径为δ的闭球域S(?)内，如果系统稳定，则状态方程的解x(t;x0,t0)在t??的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域S(?)内。
c) 一致稳定性
通常δ与?、t0 都有关。如果δ与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。
d) 渐进稳定性
系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 limx(t;x0,t0)?xe?0
t??称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(?) 出发的轨迹不仅不会超出S(?)，且当t??时收剑于xe或其附近。
c)
大范围稳定性
当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，???，S(?)??，x??。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。
d) 不稳定性
不论δ取得得多么小，只要在S(?)内有一条从x0 出发的轨迹跨出S(?)，则称此平衡状态是不稳定的。
实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。
在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。
图3.2 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹
（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
图3.2（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图3.2(a)、(b)和(c)中，域S（?）制约着初始状态x0，而域S(?）是起始于x0的轨迹的边界。
注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S(?)对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。
此外，在图5.2（c）中，轨迹离开了S(?），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(?）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）。
上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析，是最低限度的要求。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上，在其他文献中还有另外的定义。
对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定。
最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。
经典控制理论(线性系统） Lyapunov意义下 不稳定 (Re(s)>0) 不稳定 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 稳定 (Re(s)<0) 渐近稳定 3.3.2 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法是通过系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的，其主要内容: (1)用一次近似表达式表达状态方程，即X?AX，假如系统矩阵Ade全部特征值具有负实部，则系统在平衡点处是稳定的，而且稳定性与高阶导数无关。
（2）如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部时，无论高阶导数的情况如何，系统在平衡点处不稳定。
（3）如果在一次近似式的系统矩阵A的特征值中有零特征值，系统的稳定性要有高阶导数决定。当高阶导数为零时，系统处于临界稳定状态。
.3.3.3 标量函数的正定性定义
正定性：标量函数V(x)在域S中对所有非零状态(x?0)有V(x)?0且V(0)?0，称
2是正定的。 V(x)在域S内正定。如V(x)?x12?x2负定性：标量函数V(x)在域S中对所有非零x有V(x)?0且V(0)?0，称V(x)在域S内负定。如V(x)??(x1?x2)是负定的。如果V(x)是负定的，-V(x)则一定是正定
的。
负（正）半定性：V(0)?0，且V(x)在域S内某些状态处有V(x)?0，而其它状态处均有V(x)?0（V(x)?0），则称V(x)在域S内负（正）半定。设V(x)为负半定，则
22?V(x)为正半定。如V(x)??(x1?2x2)2为正半定。
不定性：V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。如V(x)?x1x2是不定的。 关于V(x,t)正定性的提法是：标量函数V(x,t)在域S中，对于t?t0及所有非零状态有V(x,t)?0,且V(0,t)?0，则称V(x,t)在域S内正定。V(x,t)的其它定号性提法类同。
二次型函数是一类重要的标量函数，记
V(x)?xTPx??x1?p11?p1n??x1????? （1）
?xn??????????pn1?pnn????xn??其中，P为对称矩阵，有pij?pji。显然满足V(x)?0，其定号性由赛尔维斯特准则判定。当P的各顺序主子行列式均大于零时，即
p11?0,p11p21p12?0,p22p11,pn1p11,(?1)npn1p1n?0 （2） pnnp1n?0 （3） pnnP为正定矩阵，则V(x)正定。当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即
p11?0,p11p21p12?0,p22P为负定矩阵，则V(x)负定。若主子行列式含有等于零的情况，则V(x)为正半定或
负半定。不属以上所有情况的V(x)不定。
3.3.4 李雅普诺夫第二法
由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小
（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则振则系统是稳定的。
Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov引出了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数。
Lyapunov函数与x1,x2,?,xn和t有关，我们用V(x1,x2,?,xn,t)或者V(x,t)来表示Lyapunov函数。如果在Lyapunov函数中不含t,则用V(x1,x2,?,xn)或V(x)表示。在
?(x,t)?dV(x,t)/dt的符号特征，提供了Lyapunov第二法中，V(x,t)和其对时间的导数V判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。
1、关于渐近稳定性
可以证明：如果x为n维向量，且其纯量函数V(x)正定，则满足
V(x)?C
的状态x处于n维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，式中C是正常数。随着x??，上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果C1?C2，则超曲面V(x)?C1完全处于超曲面V(x)?C2的内部。
对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数V(x)，并使其沿轨迹对时间的导数总
为负值，则随着时间的增加，V(x)将取越来越小的C值。随着时间的进一步增长，最终
V(x)变为零，而x也趋于零。这意味着，状态空间的原点是渐近稳定的。Lyapunov主稳
定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定的充要条件。该定理阐述如下： 定理3.1 (Lyapunov, 皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考虑如下非线性系统
?(t)?f(x(t),t) x式中
f(0,t)?0, 对所有t?t0
如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t)，且满足以下条件： 1、V(x,t)正定； 2、V(x,t)负定
则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。
进一步，若x??，V(x,t)??，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳
定的。
------------------------------------------------------------------ 例3.3 考虑如下非线性系统
2?1?x2?x1(x12?x2x)?2??x1?x2(x?x)x如果定义一个正定纯量函数V(x)
2122
显然原点（x1?0，x2?0）是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。
22?1?2x2x?2?2(x12?x2V(x)?2x1x)
是负定的，这说明V(x)沿任一轨迹连续地减小，因此V(x)是一个Lyapunov函数。由于
V(x)随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照定理5.1，该系统在原点处的平衡状
态是大范围渐近稳定的。
注意，若使V(x)取一系列的常值0,C1,C2,?（0?C1?C2??），则V(x)=0
对应于状态平面的原点，而V(x)?C1，V(x)?C2，…，描述了包围状态平面原点的互不相交的一簇圆，如图3.2所示。还应注意，由于V(x)在径向是无界的，即随着
x??，V(x)??，所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。
由于圆V(x)?Ck完全处在V(x)?Ck?1的内部，所以典型轨迹从外向里通过V圆的边界。因此Lyapunov函数的几何意义可阐述如下V(x)表示状态x到状态空间原点距离的一种度
?(x(t))?0），则量。如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随t的增加而连续地减小（即Vx(t)?0。
图3.2 常数V圆和典型轨迹
------------------------------------------------------------------
定理3.1是Lyapunov第二法的基本定理，下面对这一重要定理作几点说明。 (1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了Lyapunov函数V(x,t)，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。
(2) 对于渐近稳定的平衡状态，则Lyapunov函数必存在。
(3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。
(4) 我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。
?(x,t)必须是负定函数。如果在V?(x,t)上显然，定理3.1仍有一些限制条件，比如V?(x,t)均不恒等于零，则要求V?(x,t)附加一个限制条件，即除了原点以外，沿任一轨迹V?(x,t)取负半定的条件来代替。 负定的条件可用V定理 3.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考虑如下非线性系统
?(t)?f(x(t),t) x式中
f(0,t)?0, 对所有t?t0
若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t)，且满足以下条件： 1、V(x,t)是正定的； 2、V(x,t)是负半定的；
?[?(t;x,t),t]对于任意t和任意x?0，在t?t时，不恒等于零，其中的3、V00000?(t;x0,t0)表示在t0时从x0出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳
定的。
?(x,t)不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定曲注意，若V?[?(t;x,t),t]对任意t和任意x?0，在t?t时不恒等面V(x,t)=C相切，然而由于V00000?(x,t)=0），因而必然要运动到原于零，所以典型点就不可能保持在切点处（在这点上，V点。
2、关于稳定性
?(x,t)始终为零，则系统可以保然而，如果存在一个正定的纯量函数V(x,t)，使得V持在一个极限环上。在这种情况下，原点处的平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。 定理 3.3 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统
?(t)?f(x(t),t) x式中
f(0,t)?0, 对所有t?t0
若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t)，且满足以下条件： 1、V(x,t)是正定的； 2、V(x,t)是负半定的；
?[?(t;x,t),t]对于任意t和任意x?0，在t?t时，均恒等于零，其中的3、V00000?(t;x0,t0)表示在t0时从x0出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是Lyapunov意
义下的大范围渐近稳定的。
3、关于不稳定性
如果系统平衡状态x =0是不稳定的，则存在纯量函数W(x,t)，可用其确定平衡状
态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理。 定理3.4 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统
?(t)?f(x(t),t) x式中
f(0,t)?0, 对所有t?t0
若存在一个纯量函数W(x,t)，具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： 1、W(x,t)在原点附近的某一邻域内是正定的；
?(x,t)在同样的邻域内是正定的。 2、W则原点处的平衡状态是不稳定的。
3.3.5 线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较
在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的，然
而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。
如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够。必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于Lyapunov第二法的方法可达到这一目的，包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法、用于构成非线性系统Lyapunov函数的Schultz-Gibson变量梯度法、用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure’)法，以及用于构成吸引域的波波夫方法等。下面仅讨论克拉索夫斯基方法。
3.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
3.4.1 概述
如前所述，Lyapunov第二法不仅对非线性系统，而且对线性定常系统、线性时变系统，以及线性离散系统等均完全适用。
利用Lyapunov第二法对线性系统进行分析，有如下几个特点： (1) 都是充要条件，而非仅充分条件；
(2) 渐近稳定性等价于Lyapunov方程的存在性；
?(x)??xQx； (3)渐近稳定时，必存在二次型Lyapunov函数V(x)?xPx及VHH(4) 对于线性自治系统，当系统矩阵A非奇异时，仅有唯一平衡点，即原点xe?0； (5) 渐近稳定就是大范围渐近稳定，两者完全等价。
众所周知，对于线性定常系统，其渐近稳定性的判别方法很多。例如，对于连续时间定常系统x??Ax，渐近稳定的充要条件是：A的所有特征值均有负实部，或者相应的特征方程sI?A?sn?a1sn?1???an?1s?an?0的根具有负实部。但为了避开困难的特征值计算，如Routh-Hurwitz稳定性判据通过判断特征多项式的系数来直接判定稳定性，Nyquist稳定性判据根据开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。这里将介绍的线性系统的Lyapunov稳定性方法，也是一种代数方法，也不要求把特征多项式进行因式分解，而且可进一步应用于求解某些最优控制问题。
3.4.2 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
考虑如下线性定常自治系统
??Ax x式中，x?R,A?Rnn?n(3.3)
。假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态xe?0，其平衡状
态的稳定性很容易通过Lyapunov第二法进行研究。
对于式(5.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即
V(x)?xHPx
式中P为正定Hermite矩阵（如果x是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。
V(x)沿任一轨迹的时间导数为
?(x)?x?HPx?xHPx?V?(Ax)HPx?xHPAx?xAPx?xPAx?xH(AHP?PA)x?(x)为负定的，因此必须有 由于V(x)取为正定，对于渐近稳定性，要求V?(x)??xHQx V式中
HHH
Q??(AHP?PA)
为正定矩阵。因此，对于式(3.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。为了判断n?n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
?(x)时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是在判别VAHP?PA??Q
正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由
确定的P是否也是正定的。这可归纳为如下定理。
定理3.5 线性定常系统x??Ax在平衡点xe?0处渐近稳定的充要条件是：对于?Q?0，
?P?0，满足如下Lyapunov方程
AHP?PA??Q
这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。此时，Lyapunov函数为
?(x)??xHQx V(x)?xHPx，V?(x)??xQx?0时，可取Q?0(正半定)。 特别地，当VH
现对该定理作以下几点说明：
(1) 如果系统只包含实状态向量x和实系统矩阵A，则Lyapunov函数xPx为xPx，且Lyapunov方程为
HTATP?PA??Q
?(x)??xQx沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。 (2) 如果VH?(x)沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定 (3) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果V矩阵Q，并求解矩阵方程
AHP?PA??Q
以确定P，则对于在平衡点xe?0处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。
注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件
?Q1/2??1/2?QA?rank??n
????1/2n?1???QA???(t)沿任意轨迹不恒等于零。 则V (4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。
(5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵AHP?PA和矩阵-Q的各元素对应相等。为了确定矩阵P的各元素pij?pji，将导致n(n+1)/2个线性方程。如果用?1,?2,?,?n表示矩阵A的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和
?j??k?0
则P的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么?j??k的和总不等于零。
(6) 在确定是否存在一个正定的Hermite或实对称矩阵P时，为方便起见，通常取
Q?I，这里I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定
AHP?PA??I
然后再检验P是否正定。
------------------------------------------------------------------ [例3.5] 设二阶线性定常系统的状态方程为
?1??0?x?x????1??2??[解] 不妨取Lyapunov函数为
1??x1? ????1??x2?显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。
V(x)?xTPx
此时实对称矩阵P可由下式确定
ATP?PA??I
上式可写为
?0?1??p11?1?1??p???12p12??p11??p22???p12p12??01???10???1?1???0?1? p22?????? 将矩阵方程展开，可得联立方程组为
?2p12??1p11?p12?p22?0 2p12?2p22??1 从方程组中解出p11、p12、p22，可得
?p11?p?12?3p12??2??p22???1?21?2? ?1?? 为了检验P的正定性，我们来校核各主子行列式
3?0,2321212?0 1 显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov函数为
V(x)?xTPx?且
12(3x12?2x1x2?2x2) 2?(x)??(x2?x2) V12例3.6 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
?1?x2，x?2??x1?x2 x22?(x)?2x2，V?(x)与x无关，故存解 原点是惟一平衡状态。选V(x)?x1?x2，则V21?(x)?0，而对其余任意状态有V?(x)?0，故V?(x)在非零状态（如x1?0,x2?0)，使V正半定。系统不稳定。
例3.7 试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。 x?ax?x
2??0，得知系统有两个平解 这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令x衡状态，x?0和x??a。
对位于原点的平衡状态，选V(x)?x,有
2V(x)?2ax2?2x3?2x2(a?x)
于是，当a?0时，系统在原点处的平衡状态是局部(x??a)一致渐近稳定的；当
?(x)?0]。上述结论也a?0时原点显然是不稳定的；a?0时原点也是不稳定的[x?0,V可以从状态方程直接看出。
对于平衡状态x??a，作坐标变换z?x?a，得到新的状态方程 z??az?z
因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于原系统在状态空间x??a处的平衡状
态，当a?0时是局部一致渐近稳定的；当a?0时是不稳定的。
例3.8 试用李雅普诺夫方程确定使下图所示系统渐近稳定的k值范围。
2
3.3的系统框图 解 由图示状态变量列写状态方程
?0? x?0????k0??0??0?u
?21?x?????0?1???k??1稳定性与输入无关，可令u?0。由于detA??K?0，A非奇异，原点为惟一的平
衡状态。取Q为正半定矩阵
?000??? Q?000 ????001???(x)??xTQx??x2，V?(x)?0，有x?0，考虑状态方程中 ?(x)负半定。令V则V33?1?x2，解得x2?0，表明唯有原点存在x3??kx1?x3，解得x1?0；考虑到x?(x)?0。令 V AP?PA??Q
T?00?k??p11?1?20??p???12??01?1????p13p12p22p23p13??p11?pp23????12p33????p13p12p22p23p13??0?0p23???p33?????k0??000??000?
?21?????0?1????00?1??1展开的代数方程为6个，即
?2kp13?0，?kp23?p11?2p12?0，?kp33?p12?p13?0
2p12?4p22?0，p13?3p23?p22?0，2p23?2p33?0
解得
?k2?12k?12?12k??6k P??12?2k??0??6k12?2k3k12?2kk12?2k?0??k?
12?2k??6k?12?2k??使P正定的条件为：12?2k?0及k?0。故0?k?6时，系统渐近稳定。由于是线
性定常系统，系统大范围一致渐近稳定。
例3.9 如下系统是不是外部稳定？
e?2sg(s)?s?1
解
?e?(t?2)tg(t)?L(g(s))???0t?2?12
传递函数是无理分式，所以：
???(t?2)|g(t)|dt?|e|dt?1????02
因此系统外部稳定 例3.10 设系统状态方程为
?1?x2x?2??(1?x1)x2?x1x
试确定平衡状态的稳定性。
解 坐标原点xe?0是其唯一的平衡状态。 选择正定的标量函数 V(x)?x1?x2
22?(x)??2x(1?x) 则有 V212?(x)?0，可见该系统在单位圆外是不稳?(x)?0；当x?1时，V 当x1?1时，V1?(x)?0。因此在这个范围内系定的。但在单位圆当x1?x2?1内，由于x1?1，此时V22统平衡状态是渐近稳定的。这个单位圆称做不稳定极限环。
3.4.3离散系统的稳定性判别
设系统状态方程为x(k?1)??x(k)，式中?阵非奇异，原点是平衡状态。取正定二次型函数
V[x(k)]?xT(k)Px(k) （5）
?(x)，有 以?V[x(k)]代替V ?V[x(k)]?V[x(k?1)]?V[x(k)] （6） 考虑状态方程，有
?V[x(k)]?xT(k?1)Px(k?1)?xT(k)Px(k)
?[?x(k)]TPx(k?1)Px(k?1)?xT(k)Px(k) （7） ?xT(k)[?TP??P]x(k)令 ?TP??P??Q （8）
T式（8）称为李雅普诺夫代数方程。x(k)Px(k)是系统的一个李雅普诺夫函数，于是有
?V[x(k)]??x(k)Qx(k) （9）
系统x(k?1)??x(k)渐近稳定的充要条件是：给定任一正定实对称矩阵Q（常取
TQ＝I），存在正定对称矩阵P，使式（8）成立。