提示：p?q. [导入新知]
充要条件
如果既有p?q，又有q?p，记作p?q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件． [化解疑难]
p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和
条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．
充分条件、必要条件、充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中p是q的什么条件． (1)在△ABC中，p：cosA＝cosB，q：A＝B； (2)p：x＞1，q：x＞1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (4)p：a＜b，q：＜1.
[解] (1)在△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cosA＝cosB，则A＝B；反之，若A＝B，则cosA＝cosB.因此，p是q的充要条件．
(2)由x＞1可以推出x＞1；由x＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1； 当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b； 当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b. 因此p是q的既不充分也不必要条件． [类题通法]
充分、必要、充要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p
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abababababab是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
[活学活用]
指出下列各组命题中p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； (2)p：(x－1)＋(y－2)＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形
四边形是平行四边形，
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2
四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)＋(y－2)＝0?x＝1且y＝2?(x－1)2(y－2)＝0， 而(x－1)(y－2)＝0
(x－1)＋(y－2)＝0，
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∴p是q的充分不必要条件.
充要条件的证明 [例2] 试证：一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. [解] (1)必要性：
因为方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
(2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)． 所以方程ax＋bx＋c＝0有两个相异实根， 且两根异号，
即方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[类题通法]
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q?p，“必要性”是p?q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[活学活用]
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2caca 20
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已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
xy11
证明：(1)必要性：由＜，
xy11y－x得－＜0，即＜0，
xyxy又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0. (2)充分性：由xy＞0及x＞y，
xy11得＞，即＜. xyxyxy11
综上所述，＜的充要条件是xy＞0.
xy充分、必要条件的应用 [例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解] 因为p是q的充分不必要条件， 所以p?q但q?/ p，
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，
??1－m＜－2，所以?
??1＋m≥10
??1－m≤－2，
或???1＋m＞10，
解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}. [类题通法]
应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．
[活学活用]
已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，Q?P， 所以?
?a－4≤1，?
??a＋4≥3，
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解得－1≤a≤5.
故实数a的取值范围是[－1,5]．
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1.诠释充分条件与必要条件的判断
有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．
1．定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．其基本步骤是：
[例1] (四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)＋(y－1)≤2，q：实数x，y满足
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2
y≥x－1，??
?y≥1－x，??y≤1，
则p是q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] p表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．
[答案] A [活学活用]
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1．“sin α＝”是“cos 2α＝”的( )
22A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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解析：选A 由cos 2α＝可得sinα＝，即sin α＝±，故sin α＝是cos 2α
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