由(1)知,|AP|=,|AQ|=, 故=,
所以(-)[1+++a(2-a)]=0.
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由于k1≠k2,k1,k2>0得1+++a(2-a)=0,
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因此=1+a(a-2),①
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因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a(a-2)>1,所以a>.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点
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的充要条件为1 由e==得,所求离心率的取值范围为0 教师用书专用(5—9) 5.(2013浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:+y=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( ) 2 A. B. C. D. 答案 D 6.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 . 答案 7.(2013福建,14,4分)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 答案 -1 实用文档 5 8.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为. (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程. 解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为, 又kOM=,从而=. 进而得a=b,c==2b.故e==. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为. 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有 解得b=3. 所以a=3,故椭圆E的方程为+=1. 9.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率; (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率. 解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2 +b2 =3c2 ,又b2 =a2 -c2 ,则=. 所以椭圆的离心率e=. (2)由(1)知a2 =2c2 ,b2 =c2 .故椭圆方程为+=1. 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因为点P在椭圆上, 实用文档 6 故+=1.② 由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点, 故x0=-c,代入①得y0=, 即点P的坐标为. 设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r==c. 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c, 整理得k-8k+1=0,解得k=4±. 2 所以直线l的斜率为4+或4-. 考点三 直线与椭圆的位置关系 1.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)设圆x+y+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. 解析 (1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC, 故∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)+y=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分) 2 2 2 2 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(4分) (2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0), M(x1,y1),N(x2,y2). 由得(4k+3)x-8kx+4k-12=0. 2 2 2 2 则x1+x2=,x1x2=. 所以|MN|=|x1-x2|=.(6分) 过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4. 故四边形MPNQ的面积 实用文档 7 S=|MN||PQ|=12.(10分) 可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8). 当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12. 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).(12分) 2.(2017天津,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程. 解析 (1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b=a-c=. 2 2 2 2 所以,椭圆的方程为x+=1,抛物线的方程为y=4x. 2 2 (2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x+=1联立,消去x,整理得(3m+4)y+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±. 所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0. 2 2 2 2 教师用书专用(3—5) 3.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程. 解析 (1)由题意,得=且c+=3, 解得a=,c=1,则b=1, 所以椭圆的标准方程为+y=1. 2 (2)当AB⊥x轴时,AB=,又CP=3,不合题意. 实用文档 8