由(1)知,|AP|=,|AQ|=, 故=,
所以(-)[1+++a(2-a)]=0.
2
2
由于k1≠k2,k1,k2>0得1+++a(2-a)=0,
2
2
因此=1+a(a-2),①
2
2
因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a(a-2)>1,所以a>.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点
2
2
的充要条件为1
由e==得,所求离心率的取值范围为0
教师用书专用(5—9)
5.(2013浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:+y=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
2
A.
B.
C.
D.
答案 D
6.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
答案
7.(2013福建,14,4分)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 答案 -1
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8.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为. (1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程. 解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为, 又kOM=,从而=.
进而得a=b,c==2b.故e==.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有 解得b=3.
所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.
9.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率. 解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2
+b2
=3c2
,又b2
=a2
-c2
,则=.
所以椭圆的离心率e=.
(2)由(1)知a2
=2c2
,b2
=c2
.故椭圆方程为+=1.
设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因为点P在椭圆上,
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故+=1.②
由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点, 故x0=-c,代入①得y0=, 即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x