2015-2016学年高中数学 第2章 4导数的四则运算法则课时作业 北师大版选修2-2

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 4导数的四则运算法

则课时作业 北师大版选修2-2

一、选择题

1.已知f(x)=x+2x·f′(1),则f′(0)等于( ) A.2 C.-4 [答案] C

[解析] f′(x)=2x+2f′(1),于是f′(1)=2+2f′(1),则f′(1)=-2, 故得f′(x)=2x-4,因此f′(0)=-4.故选C.

2.曲线y=x+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A.-9 C.9 [答案] C

[解析] 本题考查导数几何意义,求导公式等知识.导数基本运算及应用是每年必考内容.

由y=x+11知y′=3x,所以y′|x=1=3,所以过点P(1,12)的切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0,令x=0易知选C.

ππ3.(2014·山师附中高二期中)设f(x)=sinx-cosx,则f(x)在x=处的导数f ′()

44=( )

A.2 C.0 [答案] A

[解析] ∵f ′(x)=cosx+sinx, πππ

∴f ′()=cos+sin=2,故选A.

4444.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=( ) A.e ln2

C. 2[答案] B

2

3

2

3

2

B.-2 D.0

B.-3 D.15

B.-2 D.2 2

B.e D.ln2

[解析] 因为f′(x)=(xlnx)′=lnx+1,所以f′(x0)=lnx0+1=2, 所以lnx0=1,即x0=e.故选B.

5.若函数y=x·2且y′=0,则x的值为( ) 1

A.-

ln 2C.-ln 2 [答案] A

1xx[解析] y′=2+x·2ln 2,由y′=0,得x=-. ln 2二、填空题

6.(2014·杭州质检)若f(x)=x-2x-4lnx,则f ′(x)>0的解集为________. [答案] (2,+∞)

42

[解析] 由f(x)=x-2x-4lnx,得函数定义域为(0,+∞),且f ′(x)=2x-2-=2

x1

B. ln 2D.ln 2

x2x-2x-4x-x-2?x+1??x-2?

=2·=2·,f ′(x)>0,解得x>2,故f ′(x)>0的

22

xxx解集为(2,+∞).

1

7.已知曲线y=的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为________.

42[答案] 1

111

[解析] 已知曲线y=的一条切线的斜率为,令y′=x=,则x=1,即切点的横

4222坐标为1.

8.(2014·江西理,13)若曲线y=e上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点

-xx2

x2

P的坐标是________.

[答案] (-ln2,2)

[解析] 依题意,设P点为(x0,y0),又y′=-e, 所以y′|x=x0=-e-x0=-2, 解得x0=-ln2,y0=2,即P(-ln2,2). 三、解答题

9.若函数f(x)=x-sincos的导数为g(x),求函数g(x)的最小值. 22

-xxxxx11

[解析] 由于f′(x)=(x-sincos)′=(x-sinx)′=1-cosx,

2222

1

所以g(x)=1-cosx,又-1≤cosx≤1,

2

故函数g(x)的最小值等于1

2

.

10.已知曲线C:y=3x4

-2x3

-9x2

+4. (1)求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程; (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点? [解析] (1)把x=1代入C的方程,求得y=-4, ∴ 切点为(1,-4),y′=12x3

-6x2

-18x, ∴切线斜率为k=12-6-18=-12.

∴切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.

??y=3x4

-2x3

-9x2

(2)由?

+4,?

?

y=-12x+8

得3x4

-2x3

-9x2+12x-4=0, ∴(x-1)2

(x+2)(3x-2)=0, ∴x=1,-2,23

. 代入y=3x4

-2x3

-9x2

+4, 求得y=-4,32,0,

即公共点为(1,-4)(切点),(-2,32),(2

3,0).

∴除切点外,还有两个交点(-2,32)、(2

3

,0).

一、选择题

1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+ln x,则f′(e)=( A.e-1

B.-1 C.-e-1 D.-e

[答案] C

[解析] ∵f(x)=2xf′(e)+ln x,

∴f′(x)=2f′(e)+111

x,∴f′(e)=2f′(e)+e,解得f′(e)=-e.故选C.

2.若函数f(x)=exsin x,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( A.π

2 B.0 C.钝角 D.锐角

[答案] C

) )

πxx44

[解析] y′|x=4=(esinx+ecos x)|x=4=e(sin 4+cos 4)=2esin(4+)<0,故

4倾斜角为钝角.故选C.

3.(2014·山师附中高二期中)直线y=kx+1与曲线y=x+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为( )

A.2 C.1 [答案] C

[解析] 由条件知,点A在直线上,∴k=2,又点A在曲线上,∴a+b+1=3,∴a+b=2.由y=x+ax+b得y′=3x+a,∴3+a=k,∴a=-1,∴b=3,∴2a+b=1.

4

4.已知点P在曲线y=x上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围

e+1是( )

π

A.[0,)

4π3πC.(,]

24[答案] D

[解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式 4e解析:y′=-x2

?e+1?

4e4e4

∴tanα=-x=- 2=-x2x?e+1??e?+2e+11xe+x+2

e1xx∵e>0∴e+x ≥2(当且仅当x=0时取等号)

e14x∴e+x+2≥4,∴0<≤1

e1xe+x+2

e∴-1≤tanα<0

3

∵α∈[0,π),∴α∈[π,π),故选D

4二、填空题

5.已知P、Q为抛物线x=2y上两点,点P、Q的横坐标分别为4、-2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.

[答案] -4

[解析] 本题考查导数的几何意义.

2

3

2

3

B.-1 D.-2

ππB.[,)

423π

D.[,π)

4

xxx

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