第2章习题参考答案

《电磁学》思考题和计算题 第二章

d?(t?x)d?t111x?????CC1C2?0S?0S?0SC??0Sd?tt不变时C亦不变,与金属片离极板的远近无关

当t →0时, C??0Sd

当t →d时, C→∞

或者:U??d?t0Edl?E(d?t)??S?QQ(d?t)?(d?t)?C??0 ?0?0SU(d?t)8、 如附图所示,一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板,两板不是严格平行,

而是有一夹角θ。证明:当θ<

在dx 宽度内,上下两平面仍近似平行, (视为并联)

d?xsin?d?xsin? a?0a?aa?C??dx?0ln(1?)0d?xsin??d2dC??0dS??0adx注:ln(1?x)?x?x

29、 半径都是a 的两根平行长直导线相距为d(d>>a),求单位长度的电容。 解: 由高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P的场强为

E?E??E??

??11???2??0?rd?r???d?a??d???ln??ln?????0??0?a??a? ·P U??ad?aEdr?单位长度的电容为

d 9

《电磁学》思考题和计算题 第二章

C???U??0??0 ??d?a??d?ln?ln??a??a???10、 证明:同轴柱形电容器两极的半径相差很小(即RB-RA<

平行板电容公式。

证明:同轴柱形电容器的电容公式为 C?2??0L

lnRBRA令RB-RA=d ,且d<< RA

lnRBR?ddd?lnA?ln(1?)?RARARARAC??02?RALd??0Sd

——相当于平行板电容器的电容公式

11、

证明:同心球形电容器两极的半径相差很小(即RB-RA<

于平行板电容公式。

证明:同心球形电容器的电容公式为 C?4??0RARB

RB?RARB RA 当RB-RA<

4??0RARB4??0R2?0SC???

RB?RAdd ——相当于平行板电容器的电容公式

12、

※一球形电容器内外两壳的半径分别为R1和R4,今在两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳。

(1) 给内壳以电量Q,求R1和R4两壳的电位差; (2) 求电容。

解:(1)首先根据静电平衡分析电荷的分布, 由对称性及高斯定理可得各区域场强分布为

10

《电磁学》思考题和计算题 第二章

E?0?r?R1?E?Q?R1?r?R2?24??0r Q?R3?r?R4?24??0rE?0?R2?r?R3?E??R4??R2?Q?1111?

???U?U1?U4??E?dl??E?dl?????R1R34??0?RRRR234??14??0 (2)电容为 C?Q?

?U?1111???????RR?RR234??113、 收音机里用的可变电容如附图所示,其中共有n个面积为S的金属片,相邻两片的距

离都是d,奇数片联在一起作为一极,它固定不动(叫做定片),偶数片联在一起作为另一极,它可以绕轴转动(叫做动片)。

(1) 什么动片转动时电容C会改变?转到什么位置时C最大?转到什么位置时C最小? (2) 证明:略去边缘效应时,C的最大值为

CM??n?1??0S

d解:(1)电容大小由定片和动片间正对着的那部分面积决定。

当动片转动时,正对面积变化,电容随之变化。 当动片完全转到定片间时,S达到最大,C就达到最大;当动片完全转出定片时,S=0,C达到最小。 (2)当动片完全转入时,相当于n-1 个电容器并联,

总电容为 CM??n?1??0S

d14、收音机里用的可变电容如上题所示,其中共有n个金属片。每片形状如下图所示;相

邻两片间的距离都是d,当动片转到两组片之间夹角为θ时,证明:当θ较大时,略去边缘效应,它的电容为C?解:由扇形面积公式 A??n?1???0?r22?r12??360d(?以度为单位)

12r?,得两组片对着的面积为 2 S?1211r2??r12??r22?r12? 222??r2 r1 θ 11

《电磁学》思考题和计算题 第二章

式中θ是以弧度为单位,若以度为单位,

12122??r22?r12?22 S?r2?r1??r2?r1? ?22360360?????? 整个电容器可视为n-1个电容器并联而成 C??0Sd??n?1???0?r22?r12??

360dC1 C2 A B D C4 C3 E

15、四个电容器的电容分别为C1、C2、C3和C4,联接

如图所示,分别求:

(1) AB间;(2)DE间;(3)AE间的电容。

解:(1)AB间的电容为 CAB?CEB?C1?注:C4短路

(2)DE间的电容为 CDE?C3?C2C3CC?C2C3?C1C3 ?12C2?C3C2?C3CC?C2C3?C1C3C1C2 ?12C1?C2C1?C2 (3)AE间有导线接通(短路,UAE=0),相当于无穷大的电容。 CAE?? 16、四个电容器的电容都是C,分别按图a和图b联接,求A、B间的电容。哪种接法

总电容较大?

A B C C C C A B C C C C 解: (a) CABCC???C 2214C?C 33a b (b)CAB?C? b接法总电容较大。

17、四个电容C1、C2、C3和C4都已知,求图a、b

两种联法时,AB间的电容。 解:两种联法A、B间的电容分别为

A C1 C2

C3 C4

A C1 C2 C3 C4

CAB?C1C3CC?C?C4??C2C4?C1?C3?CC?214?132?C1?C3??C2?C4?C1?C3C2?C4B a B b

CAB??C1?C2??C3?C4?

C1?C2?C3?C412

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