《电磁学》思考题和计算题 第二章
（２） 两球的电位差△U；
（３） 以导线把球和壳连在一起后，U1、U2和△U分别是多少？
R3 （４） 在情形（1）、（2）中，若外球接地，U1、U2和△U分别是多少？ （５） 设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？
解：（1）由对称性和高斯定理求得，各区域的电场强度和电位分别为
R1 q R2 Q E?0?r?R1?E????U1??E?dl?rq?R1?r?R2????q?11Q11?2??4??rU?E?dl????02 ?r?4??R(R1?r?R2)4??0?rRR23?03?E?0?R2?r?R3?E?q?Q?r?R3?4??0r2???q?QU3??E?dl?(R2?r?R3)外球电位r4??0R3?q?Q??U4??E?dl?(r?R3)r4??0r2q?1Q111???????4??R(r?R1)内球电位4??0?RRR23?03?1
（2）两球的电位差为 ?U?RE?dl??R1??q?11? ????4??0?R1R2??q?Q（3）以导线连接内外球，所有电荷将分布于球壳的外表面上， U内?U外?4??R
03?U?0（4）若外球接地，则情形（1）（2）中球壳内表面带电-q,外表面不带电 q?11?????R14??0?R1R2??
q?11???外球电位U2?0??U???4??0?RR2??1内球电位U1??R2??E?dl?（5）内球电位为零。设其上所带电量为q′,
QR1R21?q?q?q??Q???????0?q?R14??0?R3?R1R2?R2R3?R1R3?R1R2??R1?R1 Q(R1?R2)1q?1外球电位U2??E?dl??dr?2R2R24??4??0R1R2?R2R3?R1R30rQ(R1?R2)1?U?U2?4??0R1R2?R2R3?R1R3内球电位U1?????E?dl? E R1 R2 R3
r 5
U r R1 R2 R3
《电磁学》思考题和计算题 第二章
10、 设范德格喇夫起电机的球壳与传送带上喷射电荷的尖针之间的电位差为3.0×106V,如果
传送带迁移电荷到球壳上的速率为3.0×10-3C/s，则在仅考虑电力的情况下，必须用多大的功率来开动传送带？
解：开动传送带的功率至少应等于迁移电荷作功的功率
N?Aq?U??9000W tt11、 德格喇夫起电机的球壳直径为1m。空气的击穿场强为30KV/cm。这起电机最多能达到
多高的电位？
解：对空间任一点P，球壳所带电荷产生的电场的场强和电位分别为
q?4??0r2??U?r 1q?E?U?4??0r??E?1Umax?ER?1.5?106V
12、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的电位为
U1，半径为R1，外圆柱体的电位为U2，内半径为R2，求其间离轴为r处（R1 解：由高斯定理可解得内圆柱体和外圆柱体之间的电场强度为 ??? E?er2??0r?r??r 设r处的电位为U，则U1?U??E?dl? lnR12??0R1?R2?R??U1?U2??E?dl?ln2R12??0R1U?U2??1R22??0lnR1ln(r/R1)?rln?U1?(U1?U2)2??0R1ln(R2/R1)?U?U1? 注：学习处理方法 13、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的半径为 R1，外圆柱体的内半径为R2，两圆柱体的电位差为U。求其间离轴为r1和r2处（R1 6 《电磁学》思考题和计算题 第二章 解：利用上题结果，离轴为r1和r2处（R1 ?r2?rln(r2/r1)? U1?U2??E?dl?ln1?Ur12??0r2ln(R2/R1)2??0UR??E?,U?ln2,??R22??0r2??0R1lnR1r2rr1?U12?ln2?R2??0r1ln2R1 Uln 14、 一很长直导线横截面的半径为a，这线外套有内半径为b的同轴导体圆筒，两者互相绝 缘，外筒接地，它的电位为零。导线电位为U，求导线和筒间的电场强度分布。 ?解：由高斯定理可求得a ?? er2??0r?a??bUa?Ub??E?dl?lnb2??0a ??Ua?Ub?U2??0ln(b/a)ln(b/a) ?E??U?2??0rrln(b/a)------------------------------------------------------------------------------ 习题： 3、 面积都是2.0m2的两平行导体板放在空气中相距5.0mm，两板电位差为1000V，略 去边缘效应，求： （１） 电容C； （２） 各板上的电量Q和电荷的面密度σ； （３） 板间的电场强度E。 d解： Q?CU?3.6?10?6C???Q/S?1.8?10?6C/m2 E?U/d?2.0?105V/m4、 ※如附图所示，三块平面金属板A、B、C彼此平行放置，AB之间的距离是BC 之间距离的一半。用导线将外侧的两板A、C相联并接地，使中间导体板B带电3μC，三个导体板的六个面上的电荷各为多少？ C??0S?3.6?10?9F7 《电磁学》思考题和计算题 第二章 解：相当于两个电容器并联 CAB?CBC??0Sd??q1UABq?q1UBCq1d2(q?q1)d??0S?0SA ?0S2d B C UAB?UBC?解得q1?2q?C?2?C,q?q1?1?C3??1?0,?2??2?C,?3?2?C,?4?1?C,?5??1?C,?6?0 注：由于接地， QA上?QC下?0 5、 如附图所示，一电容器由三片面积都是6.0cm2的锡箔构成，相邻两箔间的距离都是 0.10mm，外边两箔片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极。 （１） 求电容C； （２） 若在这电容器上加220V的电压，问各箔上电荷的面密度分别是多少？ 解： C?C1?C2?2?0S/d?1.07?10?10FU1?U2?Q1?Q2?C1U??0SU/d??S???Q/S?1.96?10C/m?52 6、 如附图所示，面积为1.0m2 的金属箔11张平行排列，相邻两箔间的距离都是5.0mm，奇数箔联在一起作为电容器的一极，偶数箔联在一起作为另一极。求电容C。 解： 22个面中除最外侧的两个面外， 其他的20个面，相当于十个相同的电容器并联。 C?10C1?10?0Sd?1.78?10?8F 7、 ※如附图所示，平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，其间有一厚为t 的金 属片。略去边缘效应， S （１） 求电容C； （２） 金属片离极板的远近有无影响？ 解：相当于两个电容器串联。设金属板距上板距离为x t d 8