广东省东莞市中堂星晨学校2016年中考数学预测试卷(一)(含解析)

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(3)若cosC=,DE=4,求AD的长.

【考点】圆的综合题.

【分析】(1)连接BD,OD,运用直径所对的圆周角为90°,结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半,即可求证;

(2)通过证明△BCD∽△ACB,结合三角形的中位线定理即可证明;

(3)在直角三角形BDC和直角三角形ABC中,运用三角函数即可求出CD和AC的值,进而求解.

【解答】解:(1)如图1,

连接BD,OD,

∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠BDC=90°,

在Rt△BDC中,E是BC的中点, ∴DE=CE=BE=BC,

∴∠3=∠4, ∵OD=OB, ∴∠1=∠2,

∴∠ODE=∠1+∠3=∠2+∠4=90°, ∴DE与⊙O相切; (2)如图2,

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在直角三角形ABC中,∠C+∠A=90°,

在直角三角形BDC中,∠C+∠4=90°, ∴∠A=∠4, 又∵∠C=∠C, ∴△BCD∽△ACB,

∴BC2=AC?CD,

∵O是AB的中点,E是BC的中点, ∴AC=2OE, ∴BC2=2CD?OE; (3)如图3,

由(2)知,DE=BC,又DE=4, ∴BC=8,

在直角三角形BDC中,∴CD=

=cosC=, =cosC=,

在直角三角形ABC中,∴AC=12, ∴AD=AC﹣CD=

25.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A、B两点(A在B左边),交y轴于C点,且OC=3OA,对称轴x=1交抛物线于D点. (1)求抛物线解析式;

(2)求证:△BCD为直角三角形;

(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点M,过M作MN⊥x轴于N点,使△BMN与△BCD相似?若存在,请求出M的坐标;若不存在,请说明理由.

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【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)将x=0代入可求得y=3,故此可知C(0,3),OC=3,OA=1,则点A的坐标为(﹣1,0),由点B与点A关于x=1对称可知B(3,0),将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式,从而求得a=﹣1,b=2;

222

(2)先利用配方法求出抛物线的顶点D的坐标,再利用两点间的距离公式得出CD+BC=BD,由勾股定理的逆定理即可证明△BCD为直角三角形; (3)由(2)知,CD=,BC==3.设M(x,﹣x2+2x+3),则MN=﹣x2+2x+3,BN=3﹣x,由于∠MNB=∠BCD=90°,所以当△BMN与△BCD相似时,分两种情况:①△BMN∽△BDC;②△BMN∽△DBC.然后根据相似三角形的性质列出关于x的方程,从而求得点M的坐标. 【解答】解:(1)∵将x=0代入y=ax2+bx+3,得y=3, ∴C(0,3). ∵OC=3OA, ∴OA=1,

∴A(﹣1,0).

∵点B与点A关于x=1对称, ∴B(3,0). 将A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得:

解得:

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;

(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴顶点D的坐标为(1,4). ∵A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),

222

∴CD=(1﹣0)+(4﹣3)=2, BC2=(3﹣0)2+(0﹣3)2=18, BD2=(1﹣3)2+(4﹣0)2=20, ∴CD2+BC2=BD2,

∴△BCD为直角三角形;

(3)由(2)知,CD=,BC==3.

设在x轴上方的抛物线上存在点M(x,﹣x2+2x+3),则﹣1<x<3,﹣x2+2x+3>0, ∵MN⊥x轴于N点,

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∴N(x,0),∠MNB=90°,

∴BN=3﹣x,MN=﹣x2+2x+3. ∵Rt△BCD中,∠BCD=90°, ∴∠MNB=∠BCD=90°,

∴当△BMN与△BCD相似时,分两种情况: ①如果△BMN∽△BDC,那么

=

即=,

解得x1=3,x2=﹣, 又∵﹣1<x<3, ∴x=﹣, ∴﹣x+2x+3=∴M(﹣,

2

, );

=

②如果△BMN∽△DBC,那么

即=,

解得x1=2,x2=3,

又∵﹣1<x<3, ∴x=2,

∴﹣x2+2x+3=3, ∴M(2,3).

综上所述,M点坐标为(﹣,

)或(2,3).

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