广东省东莞市中堂星晨学校2016年中考数学预测试卷（一）（含解析）
（3）若cosC=，DE=4，求AD的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接BD，OD，运用直径所对的圆周角为90°，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求证；
（2）通过证明△BCD∽△ACB，结合三角形的中位线定理即可证明；
（3）在直角三角形BDC和直角三角形ABC中，运用三角函数即可求出CD和AC的值，进而求解．
【解答】解：（1）如图1，
连接BD，OD，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E是BC的中点， ∴DE=CE=BE=BC，
∴∠3=∠4， ∵OD=OB， ∴∠1=∠2，
∴∠ODE=∠1+∠3=∠2+∠4=90°， ∴DE与⊙O相切； （2）如图2，
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广东省东莞市中堂星晨学校2016年中考数学预测试卷（一）（含解析）
在直角三角形ABC中，∠C+∠A=90°，
在直角三角形BDC中，∠C+∠4=90°， ∴∠A=∠4， 又∵∠C=∠C， ∴△BCD∽△ACB，
，
∴BC2=AC?CD，
∵O是AB的中点，E是BC的中点， ∴AC=2OE， ∴BC2=2CD?OE； （3）如图3，
由（2）知，DE=BC，又DE=4， ∴BC=8，
在直角三角形BDC中，∴CD=
，
=cosC=， =cosC=，
在直角三角形ABC中，∴AC=12， ∴AD=AC﹣CD=
．
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点，且OC=3OA，对称轴x=1交抛物线于D点． （1）求抛物线解析式；
（2）求证：△BCD为直角三角形；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点M，过M作MN⊥x轴于N点，使△BMN与△BCD相似？若存在，请求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
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广东省东莞市中堂星晨学校2016年中考数学预测试卷（一）（含解析）
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将x=0代入可求得y=3，故此可知C（0，3），OC=3，OA=1，则点A的坐标为（﹣1，0），由点B与点A关于x=1对称可知B（3，0），将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式，从而求得a=﹣1，b=2；
222
（2）先利用配方法求出抛物线的顶点D的坐标，再利用两点间的距离公式得出CD+BC=BD，由勾股定理的逆定理即可证明△BCD为直角三角形； （3）由（2）知，CD=，BC==3．设M（x，﹣x2+2x+3），则MN=﹣x2+2x+3，BN=3﹣x，由于∠MNB=∠BCD=90°，所以当△BMN与△BCD相似时，分两种情况：①△BMN∽△BDC；②△BMN∽△DBC．然后根据相似三角形的性质列出关于x的方程，从而求得点M的坐标． 【解答】解：（1）∵将x=0代入y=ax2+bx+3，得y=3， ∴C（0，3）． ∵OC=3OA， ∴OA=1，
∴A（﹣1，0）．
∵点B与点A关于x=1对称， ∴B（3，0）． 将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得：
，
解得：
．
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）． ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
222
∴CD=（1﹣0）+（4﹣3）=2， BC2=（3﹣0）2+（0﹣3）2=18， BD2=（1﹣3）2+（4﹣0）2=20， ∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD为直角三角形；
（3）由（2）知，CD=，BC==3．
设在x轴上方的抛物线上存在点M（x，﹣x2+2x+3），则﹣1＜x＜3，﹣x2+2x+3＞0， ∵MN⊥x轴于N点，
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广东省东莞市中堂星晨学校2016年中考数学预测试卷（一）（含解析）
∴N（x，0），∠MNB=90°，
∴BN=3﹣x，MN=﹣x2+2x+3． ∵Rt△BCD中，∠BCD=90°， ∴∠MNB=∠BCD=90°，
∴当△BMN与△BCD相似时，分两种情况： ①如果△BMN∽△BDC，那么
=
，
即=，
解得x1=3，x2=﹣， 又∵﹣1＜x＜3， ∴x=﹣， ∴﹣x+2x+3=∴M（﹣，
2
， ）；
=
，
②如果△BMN∽△DBC，那么
即=，
解得x1=2，x2=3，
又∵﹣1＜x＜3， ∴x=2，
∴﹣x2+2x+3=3， ∴M（2，3）．
综上所述，M点坐标为（﹣，
）或（2，3）．
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